高中数学 第七章 复数 7.3 复数的三角表示应用案巩固提升 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题VIP免费

7.3复数的三角表示[A基础巩固]1．复数－i的三角形式是()A．cos＋isinB．cos＋isinC．cos－isinD．cos＋isin解析：选A.－i＝cosπ＋isinπ＝cos＋isin＝cos＋isin.2．复数sin50°－isin140°的辐角的主值是()A．150°B．40°C．－40°D．320°解析：选D.sin50°－isin140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos320°＋isin320°.3．复数sin4＋icos4的辐角的主值为()A．4B.－4C．2π－4D.－4解析：选D.sin4＋icos4＝cos＋isin.4．若复数cosθ＋isinθ和sinθ＋icosθ相等，则θ的值为()A.B.或C．2kπ＋(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)解析：选D.因为cosθ＋isinθ＝sinθ＋icosθ，所以cosθ＝sinθ，即tanθ＝1，所以θ＝＋kπ，(k∈Z)．5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cosθ－isinθ)的三角形式是()A.B.[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]C.D.解析：选A.因为1＋i＝，cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，所以(1＋i)(cosθ－isinθ)＝＝.6．已知z＝cos＋isin，则argz2＝________．解析：因为argz＝，所以argz2＝2argz＝2×＝.答案：7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．解析：(1＋i)＝＝＝＝1－i.答案：1－i8．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是_________________．解析：由题知，z1＝2，z2＝2，所以的辐角的主值为－＝.答案：9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．解：因为z1＝2，设z2＝2(cosα＋isinα)，α∈(0，π)，所以z1z＝8.由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i.10．已知z＝－2i，z1－zz2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2.解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|zz2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又argz2＝，所以z2＝，z1＝zz2＝(1＋i)z2＝·＝2.[B能力提升]11．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是()A．1B．－1C．－D．－解析：选B.因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝，所以，所以a＝－1，故选B.12．设π<θ<，则复数的辐角的主值为()A．2π－3θB．3θ－2πC．3θD．3θ－π解析：选B.＝＝cos3θ＋isin3θ.因为π<θ<，所以3π<3θ<，所以π<3θ－2π<，故选B.13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且argz∈，则z的三角形式为________．解析：由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.因为argz∈，所以z＝－1－i应舍去，所以z＝－1＋i＝2.答案：z＝214．已知k是实数，ω是非零复数，且满足argω＝π，(1＋ω)2＋(1＋i)2＝1＋kω.(1)求ω的值；(2)设z＝cosθ＋isinθ，θ∈[0，2π]，若|z－ω|＝1＋，求θ的值．解：(1)设ω＝r(r>0)，可求出r＝，即ω＝－1＋i.(2)|z－ω|＝.因为|z－ω|＝1＋，所以＝1＋，化简得cos＝1，而≤θ＋≤，所以θ＋＝2π，即θ＝.[C拓展探究]15．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．解：由题意可设z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ.因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，所以＝＋i，即所以所以tan＝，故tan(α＋β)＝＝.