1.1第3课时正、余弦定理的综合应用A级基础巩固一、选择题1．已知三角形的三边长分别是a，b，，则此三角形中最大的角是()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：因为＞a，＞b，所以最大边是，设其所对的角为θ，则cosθ＝＝－，θ＝120°.答案：C2．在△ABC中，有下列关系式：①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC.一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()A.B.C．2D．2解析：S＝×AB·ACsin60°＝×2××AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案：B4．锐角三角形ABC中，sinA和cosB的大小关系是()A．sinA＝cosBB．sinA＜cosBC．sinA＞cosBD．不能确定解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°.所以A＞90°－B，所以sinA＞sin(90°－B)＝cosB.答案：C5．在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为()A.B.C.D.解析：a2＝b2＋c2－2bccosA＝82＋32－2×8×3＝49，所以a＝7，所以2R＝＝＝，所以R＝，所以S＝π＝π.答案：D二、填空题6．若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．解析：试题分析：由已知得△ABC的面积为AB·ACsinA＝20sinA＝10，所以sinA＝，A∈(0，)，所以A＝.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝49，BC＝7.答案：77．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．解析：＝＝·＝·＝1.1答案：18．(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.答案：三、解答题9．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC．求B的度数．解：因为sin2B－sin2C－sin2A＝sinA·sinC.由正弦定理得：b2－c2－a2＝ac，由余弦定理得：cosB＝＝－.又0°＜B＜180°，所以B＝150°.10．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin.解：(1)在△ABC中，根据正弦定理＝，于是AB＝·BC＝2BC＝2.(2)在△ABC中，根据余弦定理得cosA＝＝，于是sinA＝，由倍角公式得sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝，所以sin＝sin2Acos－cos2Asin＝.B级能力提升1．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC等于()A.B.C.D.解析：由余弦定理：AC＝＝，由正弦定理：＝，所以sin∠CAB＝＝答案：C2．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．解析：如下图所示，延长BA，CD交于点E，则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，所以设AD＝x，AE＝x，DE＝x，CD＝m，因为BC＝2，所以·sin15°＝1⇒x＋m＝＋，所以0＜x＜4，而AB＝x＋m－x＝x＋m＝＋－x，所以AB的取值范围是(－，＋)．答案：(－，＋)3．(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.2(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：(1)由已知及正弦定理得：2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC.故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝，所以C＝.(2)由已知，absinC＝.又C＝，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7.故a2＋b2＝13，从而＝25.所以△ABC的周长为5＋.3
