1.2.3第1课时直线与平面平行(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂α，CD⊄α，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是________．【解析】由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．【答案】平行或异面2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列四个命题正确的是________．①α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l相交．【解析】依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．【答案】②3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形的序号是__________.图1－2－44【解析】过AB的体对角面与面MNP平行，故①成立；④中易知AB∥NP，故④也成立．【答案】①④4．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图1－2－45中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．图1－2－45【解析】由题意知EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．【答案】25．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M是A1B1的中点，N是AB上的点，且AN∶NB＝1∶2，过D1，M，N的平面交AD于点G，则NG＝__________.1【解析】过D1，M，N的平面与AD的交点G位置如图，其中AG∶GD＝2∶1，AG＝a，AN＝a，在Rt△AGN中，NG＝＝a.【答案】a6．如图1－2－46，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F，则四边形BCFE的形状一定是______．图1－2－46【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE为梯形．【答案】梯形7．如图1－2－47，三棱锥A－BCD中E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.图1－2－47【解析】∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC.∴EF＝HG＝·m.同理，EH＝FG＝·n，∴·m＝·n，∴AE∶EB＝m∶n.【答案】m∶n8．如图1－2－48，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是________．图1－2－482【解析】∵⇒AB∥CD，同理可证AB∥EF，∴EF∥CD.【答案】平行二、解答题9．如图1－2－49，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1.图1－2－49【证明】∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连结B1C交BC1于点E，则B1E＝EC.连结DE，在△AB1C中，∵AD＝DC，B1E＝EC，∴DE∥AB1.又∵AB1⊄平面DBC1，DE⊂平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.10．如图1－2－50，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.图1－2－50【证明】∵AC∥A1C1，而AC⊄平面A1EC1，A1C1⊂平面A1EC1.∴AC∥平面A1EC1.而平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，AC⊂平面AB1C，∴AC∥FG.[能力提升]1．如图1－2－51所示，A是平面BCD外一点，E，F，H分别是BD，DC，AB的中点，设过这三点的平面为α，则在下图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线有________________条．3图1－2－51【解析】如图，过F作FG∥AD交AC于G，显然平面EFGH就是平面α.在△BCD中，EF∥BC，EF⊂α，BC⊄α，∴BC∥α.同理，AD∥α.所以在所给的6条直线中，与平面α平行的有2条．【答案】22．如图1－2－52，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图1－2－52【解析】因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC，又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.【答案】3．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________________．【解析】连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由＝得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.【答案】平面ABC，平面ABD4．已知直线l是过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与平面ABCD所在平面的交线.求证：B1D1∥l.图1－2－53【证明】∵BB1綊DD1，∴四边形BDD1B1是平行四边形，∴B1D1∥BD.∵B1D1⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴B1D1∥平面ABCD，4∵平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1⊂平面AB1D1，∴B1D1∥l.5
