第4课时空间几何体的表面积与体积基础达标(水平一)1.棱长都是1的三棱锥的表面积为().A.B.2C.3D.4【解析】因为四个面是全等的正三角形,所以S表面积=4S底面积=4×=.【答案】A2.已知圆台的上、下底面半径分别是3、4,母线长为6,则其表面积等于().A.72B.42πC.67πD.72π【解析】S圆台=S圆台侧+S上底+S下底=π(3+4)×6+π×32+π×42=67π.【答案】C3.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是().A.4πB.3πC.2πD.π【解析】所得几何体为一底面圆半径为1,高为1的圆柱,则侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π,故选C.【答案】C4.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是().A.4πB.C.6πD.【解析】由AB⊥BC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的体积V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切,设底面△ABC的内切圆的半径为r.则×6×8=×(6+8+10)·r,所以r=2.但是2r=4>3,故不合题意.故当球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径R最大.所以2R=3,即R=.故球的体积V的最大值为πR3=.【答案】B5.如图是一个几何体的三视图,由图中的数据可知该几何体的表面积为.【解析】由三视图知,该几何体由一个圆锥和半个球组成.球的半径和圆锥底面的半径都等于3,圆锥的母线长等于5,所以该几何体的表面积S=2π×32+π×3×5=33π.【答案】33π6.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】由三视图知原几何体是两个半径为的球体相切放置,上面放长、宽、高分别是6、3、1的长方体,直观图如图.该几何体的体积V=2V球+V长方体=2×π×+6×1×3=18+9π.【答案】18+9π7.如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.【解析】S球=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)×=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又因为V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3),所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).拓展提升(水平二)8.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为().A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】因为△AOB的面积为定值,所以当OC垂直于平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积取得最大值.由×R2×R=36,得R=6.故球O的表面积S=4πR2=144π.【答案】C9.如图,在圆柱O1O2内有一个半径为R的球O,该球与圆柱的上、下面及侧面均相切,且圆柱O1O2的底面半径为R.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.【解析】由题意得圆柱O1O2的母线长为2R.因为V1=πR2·2R=2πR3,V2=πR3,所以==.【答案】10.如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积),V2(几何体BFEC-C'B'的体积)的两部分,那么V1∶V2=.【解析】设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AC,AB的中点,所以S△AEF=S,所以V1=h=Sh,V2=V-V1=Sh.所以V1∶V2=7∶5.【答案】7∶511.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与长方体相交,交线为正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法);(2)求平面α把长方体分成的两部分的体积比值.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)如图,作EM⊥AB,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.故MH==6,AH=10,HB=6.所以=×(4+10)×8=56,=×(12+6)×8=72.因为长方体被平面α分成两个等高的直棱柱,所以它们的体积比值为.
