4.5.1函数的零点与方程的解A级：“四基”巩固训练一、选择题1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案A解析因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在(－3，－1)内必有零点．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有零点．2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解答案D解析因为函数f(x)的图象在[－1,3]上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在[－1,3]上不一定有实数解．3．函数f(x)＝lgx－的零点所在的大致区间是()A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)答案D解析因为f(9)＝lg9－1<0，f(10)＝lg10－＝1－>0，所以f(9)·f(10)<0，所以f(x)＝lgx－在区间(9,10)上有零点，故选D．4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1009个，则f(x)的零点的个数为()A．1009B．1010C．2018D．2019答案D解析∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1009个零点，∴在(－∞，0)上也有1009个零点，又∵f(0)＝0，∴共有1009×2＋1＝2019个．5．设a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若x0>a，则()A．f(x0)＝0B．f(x0)>0C．f(x0)<0D．f(x0)的符号不确定答案B解析如图所示，画出函数y＝2x与y＝logx的图象，可知当x0>a时，2x0>logx0，故f(x0)>0.二、填空题6．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点分别是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．答案－，－解析由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，∴即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的两根为－，－，即为函数g(x)的零点．7．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪解析由零点存在定理，得f(1)·f(－1)<0，即(3a＋1－2a)(－3a＋1－2a)<0，整理得(a＋1)(－5a＋1)<0，解得a<－1或a>.8．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝B．在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，则当00，所以2a>－＝0，即a>0.故实数a的取值范围为(0，＋∞)．2．已知函数f(x)＝(log2x)2＋4log2x＋m，x∈，m为常数．(1)设函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求αβ的值．解令log2x＝t，由x∈，则f(x)＝g(t)＝t2＋4t＋m(t∈[－3,2])，(1)由于函数f(x)存在大于1的零点，所以方程t2＋4t＋m＝0在t∈(0,2]内存在实数根，由t2＋4t＋m＝0，得m＝－t2－4t，t∈(0,2]，所以实数m的取值范围是[－12,0)．(2)函数f(x)有两个互异的零点α，β，则函数g(t)在[－3，2]内有两个互异的零点t1，t2，其中t1＝log2α，t2＝log2β，又因为g(t)表示的二次函数开口向上，对称轴t＝－2∈[－3,2]，所以解得3≤m<4，所以实数m的取值范围是[3,4)．根据根与系数的关系，可知t1＋t2＝－4，即log2α＋log2β＝－4，所以log2(αβ)＝－4，αβ＝2－4＝.
