高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 第2课时 函数的最大（小）值课后课时精练 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题VIP免费

第2课时函数的最大（小）值A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为()A．0.4B．1C．2D．2.5答案C解析 函数f(x)＝在[2,6]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝＝2.2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对答案A解析当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7＜8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．(－∞，2]D．[1,2]答案D解析由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.4．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)答案C解析令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又 x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.又因为函数图象开口向下，所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.二、填空题6．设函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2,6]上单调递增，且f(－4)1)上的最小值是，则b＝________.答案4解析因为f(x)＝在[1，b]上单调递减，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______(m)．答案20解析设矩形花园的宽为ym，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．三、解答题9．求下列函数的最值．(1)函数y＝x＋(x≥1)的最小值；(2)函数y＝的最大值．解(1)解法一：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝2＋，又因为t≥0，所以y≥＋＝1.故函数y＝x＋的最小值为1.解法二：因为函数y＝x和y＝(x≥1)均为增函数，故函数y＝x＋(x≥1)为增函数，所以当x＝1时y取得最小值，即ymin＝1.(2)y＝＝＝2＋＝2＋.因为2＋≥，所以2<2＋≤2＋＝.故函数的最大值为.10．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．解f(x)＝x＋，当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上单调递增，∴g(a)＝f(0)＝；当00时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上单调递减；(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．解(1)证明：∀x1，x2∈R，且x10，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0.又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)