高中数学第3章不等式第四节基本不等式1 基本不等式的证明习题苏教版必修5-苏教版高一必修5数学试题VIP免费

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基本不等式的证明（答题时间：40分钟）1.已知下列不等式①x＋≥2②x2＋≥2③x＜0，x＋≤－2④x＞0，x＋≥2其中不等式成立的是。（填写序号即可）*2.下列不等式的推导过程正确的是________。（填序号）①若a，b∈R，则＋≥2＝2；②若x＞0，则cosx＋＝2；③若x＜0，则＝4；④若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－[（－）＋（－）]≤－2＝-2。*3.若0>>b②b>>>a③b>>>a④b>a>>4.若a<1，则a＋有最______（填“大”或“小”）值，为________。*5.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________。6.已知m＝a＋（a＞2），n＝22－b2（b≠0），则m，n之间的大小关系是________。**7.（新课标Ⅱ）设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：（1）ab＋bc＋ca≤；（2）≥1。**8.（苏州市期末）已知a，b，x，y都是正数，且a＋b＝1，求证：（ax＋by）（bx＋ay）≥xy。***9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：（1）≥8；（2）≥9。1.②③④解析：①中，若x＜0，则结论不成立；②中，，成立；③，成立；④，成立。2.④解析：对于①，不能确定与均为正数，不能使用基本不等式，同理，知②也不正确。对于③，x与均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误。对于④，将负数与分别转化为正数－，－，然后再利用基本不等式求解，所以正确。故填④。3.③解析：∵0a＋b，∴b>。∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a，故b>>>a。4.大－1解析：∵a<1，∴a－1<0，∴－＝（1－a）＋≥2（a＝0时取等号），∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1。5.解析：∵x>0，∴>0，易知a>0，∴≥，∴≤x＋＋3，∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5（x＝1时取等号），∴≤5，∴a≥。6.m＞n解析：m＝a＋＝（a－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立，故m∈[4，＋∞），由b≠0，得b2≠0，∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n∈（0,4），综上易得m＞n。7.证明：（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤。（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），即＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1。8.证明：∵a，b，x，y都是正数，∴（ax＋by）（bx＋ay）＝ab（x2＋y2）＋xy（a2＋b2）≥ab（2xy）＋xy（a2＋b2）＝（a＋b）2xy，∵a＋b＝1，∴（a＋b）2xy＝xy，（ax＋by）（bx＋ay）≥xy成立。9.证明：（1），∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）．（2）方法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，∴≥5＋4＝9，∴≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立），方法二，由（1）知，，故≥9。

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