2.3两角和与差的正切函数课后篇巩固探究1.已知α∈(-π2,0),sinα=-45,则tan(α+π4)=()A.-7B.-17C.17D.7解析∵α∈(-π2,0),∴cosα=35,∴tanα=-43.∴tan(α+π4)=tanα+11-tanα=-17.答案B2.已知tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,那么tan(α+π4)=()A.1318B.1322C.322D.-322解析因为α+π4=(α+β)-(β-π4),所以tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=25-141+25×14=322,故选C.答案C3.若A=15°,B=30°,则(1+tanA)(1+tanB)的值为()A.1B.2C.-1D.-2解析由结论A+B=45°,则(1+tanA)(1+tanB)=2.答案B4.若tanα=lg(10a),tanβ=lg1a,且α+β=π4,则实数a的值为()A.1B.110C.1或110D.1或10解析tanα+tanβ=lg(10a)+lg1a=lg10=1.∵α+β=π4,∴tanπ4=tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=11-tanαtanβ=1,∴tanαtanβ=0,则有tanα=lg(10a)=0或tanβ=lg1a=0,∴10a=1或1a=1,即a=110或1,故选C.答案C5.若锐角α,β使α+2β=2π3,tanα2tanβ=13同时成立,则α+β的值为()A.5π12B.π2C.7π12D.5π6解析∵α+2β=2π3,∴α2+β=π3,∴tan(α2+β)=tanα2+tanβ1-tanα2tanβ=tanα2+tanβ1-13=❑√3,即tanα2+tanβ=2❑√33,∴tanα2,tanβ是x2-2❑√33x+13=0的两个根,解得tanα2=tanβ=❑√33.又α,β均为锐角,∴α2=β=π6,故α+β=π2.答案B6.(2018全国Ⅱ高考)已知tan(α-5π4)=15,则tanα=.解析∵tan(α-54π)=tanα-tan54π1+tanαtan54π=tanα-11+tanα=15,∴5tanα-5=1+tanα.∴tanα=32.答案327.tan23°+tan37°+❑√3tan23°tan37°的值是.解析∵tan60°=❑√3=tan23°+tan37°1-tan23°tan37°,∴tan23°+tan37°=❑√3−❑√3tan23°tan37°,∴tan23°+tan37°+❑√3tan23°tan37°=❑√3.答案❑√38.已知α∈(0,π2),且tan(α+π4)=3,则log5(sinα+2cosα)+log5(3sinα+cosα)=.解析利用两角和的正切公式得tan(α+π4)=tanα+11-tanα=3,∴tanα=12.∴log5(sinα+2cosα)+log5(3sinα+cosα)=log53sin2α+7sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=log53tan2α+7tanα+2tan2α+1=log55=1.答案19.导学号93774095已知tanα=3.(1)求tan(α-π4)的值;(2)求sinα+cosαsinα-2cosα的值.解(1)tan(α-π4)=tanα-tanπ41+tanα·tanπ4=3-11+3×1=12.(2)由tanα=3,得cosα≠0,所以sinα+cosαsinα-2cosα=tanα+1tanα-2=3+13-2=4.10.导学号93774096已知tanα=-13,cosβ=❑√55,α,β∈(0,π).(1)求tan(α+β)的值;(2)求函数f(x)=❑√2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.解(1)∵cosβ=❑√55,β∈(0,π),∴sinβ=2❑√55,∴tanβ=2,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-13+21-(-13)×2=1.(2)∵tanα=-13,α∈(0,π),∴sinα=❑√1010,cosα=-3❑√1010,∴f(x)=❑√2(sinxcosα-cosxsinα)+(cosxcosβ-sinxsinβ)=-3❑√55sinx-❑√55cosx+❑√55cosx-2❑√55sinx=-❑√5sinx.又-1≤sinx≤1,∴f(x)的最大值为❑√5.11.在△ABC中,求证:tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1.证明左边=tanA2(tanB2+tanC2)+tanB2tanC2=tanA2tanB+C2(1-tanB2tanC2)+tanB2tanC2=tanA2tan(π2-A2)(1-tanB2tanC2)+tanB2·tanC2=tanA21tanA2(1-tanB2tanC2)+tanB2tanC2=1=右边.故原等式成立.
