2.3两角和与差的正切函数课时跟踪检测一、选择题1．已知cosα＝－，且α∈，则tan等于()A．－B．－7C．D．7解析：∵α∈，且cosα＝－，∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝－，∴tan＝＝＝7.答案：D2．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tan等于()A．3B．－3C．D．－解析：a∥b，则tanα＝－，∴tan＝＝－3.答案：B3．已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两个根，且0＜α＜，π＜β＜，则α＋β的值为()A.B．C.D．解析：由韦达定理得tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝1，又π＜α＋β＜2π，故α＋β＝.答案：C4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．无法确定解析：由已知得∴tan(A＋B)＝＝＝>0，∴A＋B为锐角，∴C为钝角，故△ABC为钝角三角形．答案：A5．设tanα和tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是()A.B．C．－D．不确定解析：∵tanα，tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，∴∴m≤，且m≠0，且tan(α＋β)＝＝＝＝－m＋.∴当m＝时，tan(α＋β)的最小值是－.答案：C6．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为()A．16B．8C．4D．2解析：由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用和角的正切公式及其变形可知(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，故(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)＝4.答案：C二、填空题7．已知角α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于________．解析：由题意得tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋(k∈Z)．又∵α为锐角，∴k＝1，∴α＝－＝.答案：π8．tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝________.解析：原式＝tan10°tan20°＋tan60°·(tan20°＋tan10°)＝tan10°tan20°＋[(1－tan20°tan10°)·tan(20°＋10°)]＝tan10°tan20°＋×(1－tan20°tan10°)＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.答案：19．若a，b是非零实数，且＝tan，则＝________.解析：＝＝tan＝tan＝，＝tan＝.答案：三、解答题10．已知tanα＝－.(1)求tan的值；(2)求的值．解：(1)因为tanα＝－，所以tan＝＝－7.(2)因为tanα＝－，所以＝＝.11．已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，判断△ABC的形状．解：∵tanA＋tanB＝tanAtanB－1，∴(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1.∴＝－.∴tan(A＋B)＝－.又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝.∴C＝.∵tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanC＝，∴tanB＋＋tanB＝，tanB＝，B＝.∴A＝.∴△ABC为等腰三角形．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cosα＝，cosβ＝，因α为锐角，故sinα＞0.从而sinα＝＝.同理可得sinβ＝.因此tanα＝7，tanβ＝.所以tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜.从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.13．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
