平面向量基本定理（答题时间：40分钟）1.下列关于基底的说法正确的是________。（填序号）①平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的。**2.设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝________。3.设一直线上三点A，B，P满足（m≠－1），O是直线所在平面内一点，则用，表示为________。**4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，若＝r＋s，则r＋s＝________。**5.已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且，，，则＝________。**6.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________。*7.（保定高一检测）设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a。8.平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n。（1）以b，d为基底，表示；（2）以m，n为基底，表示。**9.如图所示，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：。1.①③解析：作为基底的两个向量不共线，故基底中的向量不能是零向量，②不正确，①③正确。2.2解析：由e1＋2e2＝λ（me1＋ne2），得mλ＝1且nλ＝2，∴＝2。3.解析：由＝m得－＝m（），∴，∴。4.解析：由E是AD的中点，则＝－＝－，则r＋s＝－。5.0解析：由，易知，所以，再由＝2，，可知3＝，3＝，所以2＋3＋3＝0。6.解析：设＝b，＝a，则b－a，＝b－a，＝b－a，代入＝，得b－a＝（λ＋）b－（＋μ）a，即解得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝。7.解：设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R则，－e1＋3e2＝λ1（4e1＋2e2）＋λ2（－3e1＋12e2），即－e1＋3e2＝（4λ1－3λ2）e1＋（2λ1＋12λ2）e2，∴∴∴a＝－b＋c。8.解：如图所示，（1）－＝（b＋d）－（d＋b）＝b－d。（2）m＝＝d＋，①n＝d，所以2n＝2＋d，②由①②消去d，得n－m。9.【证明】记＝e1，＝e2，所以＝－3e2，＝－e1，则＝＝－3e2－e1，＝＝2e1＋e2，因为A，P，M共线，且B，P，N共线，所以存在实数λ，μ，使＝λ＝－3λe2－λe1，＝μ＝2μe1＋μe2，所以＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1＝（2μ＋λ）e1＋（μ＋3λ）e2，又＝＝2e1＋3e2，所以解之得所以，所以AP∶PM＝4∶1，即＝4。
