【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章平面向量6平面向量数量积的坐标表示学业分层测评北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·华阴高一检测)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()A．－1B．C．－D．1【解析】因为a·b＝2－x＝1，所以x＝1.【答案】D2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B．C.D．【解析】2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(2,4)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．设夹角为θ，则cosθ＝＝＝.又因为θ∈t[0，π]，所以θ＝.【答案】C3．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则x的值为()A．－B．C.D．2【解析】因为a＋xb＝(3,4)＋(2x，－x)＝(2x＋3,4－x)，－b＝(－2,1)．因为a＋xb与－b垂直，所以(2x＋3,4－x)·(－2,1)＝－4x－6＋4－x＝0，解得－5x＝2，所以x＝－.【答案】A4．在▱ABCD中，已知AC＝(－4,2)，BD＝(2，－6)，那么|2AB＋CD|＝()A．5B．2C．2D．【解析】设AB＝a，AD＝b，则a＋b＝AC＝(－4,2)．b－a＝BD＝(2，－6)，所以b＝(－1，－2)，a＝(－3,4)，所以2AB＋AD＝2a＋b＝(－7,6)，所以|2AB＋AD|＝＝.【答案】D5．已知OA＝(－2,1)，OB＝(0,2)，且AC∥OB，BC⊥AB，则点C的坐标是()A．(2,6)B．(－2，－6)C．(2，－6)D．(－2,6)【解析】设C(x，y)，则AC＝(x＋2，y－1)，BC＝(x，y－2)，AB＝(2,1)．由AC∥OB，BC⊥AB，得解得∴点C的坐标为(－2,6)．【答案】D二、填空题6．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.【解析】a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，得(3,3m)·(m＋1,1)＝0，即6m＋3＝0，所以m＝－，所以a＝(1，－1)，|a|＝＝.【答案】7．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝________.【导学号：66470058】【解析】任取l1和l2的方向向量分别为m＝和n＝，设m和n的夹角为α，则cosα＝＝，∴α＝45°，∴θ＝45°.【答案】45°8．(2016·西安高一检测)已知两个单位向量a·b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.【解析】b·c＝b·(ta＋(1－t)b)＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×cos60°＋(1－t)＝0，即t＝1，所以t＝2.【答案】2三、解答题9．已知向量a是以点A(3，－1)为始点，且与向量b＝(－3,4)垂直的单位向量，求a的终点坐标．【解】∵b是直线y＝－x的方向向量，且a⊥b，∴a是直线y＝x的方向向量，∴可设a＝λ＝.由|a|＝1，得λ2＋λ2＝1，解得λ＝±，∴a＝或a＝.设a的终点坐标为(x，y)，则或即或∴a的终点坐标是或.10．设平面向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.【解】(1)证明：由题意，知a＋b＝，a－b＝，因为(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0,所以(a＋b)⊥(a－b)．(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意，知(a＋b)2＝(a－b)2，化简，得a·b＝0，所以－cosα＋sinα＝0，所以tanα＝.又因为0≤α<2π，所以α＝或α＝.[能力提升]1．已知AB＝(4,2)，AC＝(k，－2)，若△ABC为直角三角形，则k等于()A．1B．6C．1或6D．1或2或6【解析】若∠A为直角，则AB·AC＝4k－4＝0，所以k＝1，BC＝AC－AB＝(k，－2)－(4,2)＝(k－4,4)．若∠B为直角，则BA·BC＝(－4，－2)·(k－4，－4)＝－4k＋16＋8＝0，所以k＝6.若∠C为直角，则CA·CB＝0，即(－k,2)·(4－k,4)＝0，方程无解，综上知k的值为1或6.【答案】C2．已知A(－1,2)，B(2,8)，C(0,5)，若AD⊥BC，BD∥BC，则点D的坐标是()A．B．C.D．【解析】设D(x，y)，则AD＝(x＋1，y－2)，BD＝(x－2，y－8)，因为BC＝(－2，－3)，AD⊥BC，BD∥BC.所以解得所以D点坐标为.【答案】A3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于________．【解析】不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，由于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，则有m＝－，n＝－，所以c＝.【答案】4．已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.(1)求证：AB⊥AC；(2)求点D和向量AD的坐标；(3)设∠ABC＝θ，求cosθ.【解】(1)证明：AB＝(－1－2，－2－4)＝(－3，－6)，AC＝(4－2,3－4)＝(2，－1)．∵AB·AC＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0，∴AB⊥AC，即AB⊥AC.(2)设D点坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y－4)，BC＝(5,5)．∵AD⊥BC，∴AD·BC＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①又BD＝(x＋1，y＋2)，而BD与BC共线，∴5(x＋1)＝5(y＋2)，②由①②解得x＝，y＝，故D点坐标为，∴AD＝＝.(3)BA＝(3,6)，BC＝(5,5)，cosθ＝＝＝.
