§7向量应用举例课后拔高提能练一、选择题1．已知平面上三点A，B，C满足(BC＋BA)·AC＝0，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选A如图，设AC边上的中点为D，则BD＝(BC＋BA)．∵(BC＋BA)·AC＝0，∴BD·AC＝0，∴BD⊥AC.∵底边AC上的中线也是底边AC上的高，∴△ABC为等腰三角形．2．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选CAB＝(21,7)，AC＝(1，－3)，∴AB·AC＝0，∴AB⊥AC，即∠A＝90°.3．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1)B．(1,9)C．(9,0)D．(0,9)解析：选Af＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f终点的坐标为(a，b)，则OP＝OA＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．4．质点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为()A．(－2,4)B．(－30,25)C．(10，－5)D．(5，－10)解析：选C(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．二、填空题5．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD＝0，则点A的横坐标为________．解析：设A(a,2a)(a>0)，则由圆心C为AB中点得C.易得⊙C：(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0，与y＝2x联立解得点D的横坐标xD＝1，所以D(1,2)．所以AB＝(5－a，－2a)，CD＝，由AB·CD＝0得(5－a)＋(－2a)(2－a)＝0，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，因为a>0，所以a＝3.答案：36．在△ABC中，已知|AB|＝|AC|＝4，且AB·AC＝8，则△ABC的形状是________．解析：∵AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝8，得cosA＝，∴∠A＝60°，又|AB|＝|AC|，∴△ABC为正三角形．答案：正三角形7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝αOA＋βOB，(其中α＋β＝1，α，β∈R)，则点C的轨迹方程是________________．解析：设C(x，y)，由OC＝αOA＋βOB得：(x，y)＝α(3,1)＋β(－1,3)，∴把β＝1－α代入上式得消去α得x＋2y－5＝0.答案：x＋2y－5＝0三、解答题8．如图，△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是BC的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.证明：以C为原点，以CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.∴AD＝，CE＝，∴AD·CE＝－a2＋a2＝0，∴AD⊥CE，即AD⊥CE.9．两个力f1＝i＋j，f2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从A(20,15)移动到点B(7,0)，(其中i，j是x轴，y轴方向上的单位向量)．求：(1)f1，f2分别对该质点做的功；(2)f1，f2的合力f对该质点做的功．解：由题意知f1＝(1,1)，f2＝(4，－5)，s＝AB＝(－13，－15)．(1)f1对该质点做的功W1＝f1·s＝1×(－13)＋1×(－15)＝－28.f2对该质点做的功W2＝f2·s＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23.(2)合力f＝f1＋f2＝(5，－4)，合力f对该质点做的功W＝f·s＝5×(－13)－4×(－15)＝－5.
