6平面向量数量积的坐标表示课时跟踪检测一、选择题1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()A．23B．7C．－23D．－7解析：a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7.答案：D2．已知|a|＝10，|b|＝12，且3a·b＝－36，则a与b的夹角是()A．150°B．135°C．120°D．60°解析：3a·b＝－36，∴a·b＝－60.∴cosθ＝＝＝－，∴θ＝120°.答案：C3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8B．－6C．6D．8解析：向量a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b得4×3＋(m－2)×(－2)＝0，解得m＝8，故选D．答案：D4．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，若DE⊥AC，则|DE|＝()A．B．2C．3D．2解析：以A为坐标原点，建立坐标系．则A(0,0)，E(2,0)，C(4，x)，D(0，x)，(x>0)．∴DE＝(2，－x)，AC＝(4，x)．∵DE⊥AC，∴2×4＋(－x)·x＝0，x＝2.∴DE＝(2，－2)，|DE|＝＝2.答案：B5．(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A．－1B．＋1C．2D．2－解析：设a＝(x，y)，e＝(1,0)，b＝(m，n)，则由〈a，e〉＝得a·e＝|a|·|e|cos，即x＝，∴y＝±x，由b2－4e·b＋3＝0得m2＋n2－4m＋3＝0，即(m－2)2＋n2＝1，因此|a－b|的最小值为圆心(2,0)到直线y＝±x的距离减去半径1，为－1.故选A．答案：A6．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A．B．2C．D．10解析：∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2，∴a＝(2,1)．∵b∥c，∴1×(－4)－2y＝0，y＝－2，∴b＝(1，－2)．∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝＝.答案：C二、填空题7．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则OA·OC＝________.解析：如图，设OC＝(x，y)，∵OC⊥AB于点C，∴OC·AB＝0，AC∥AB，∴即解得∴OA·OC＝4x＝.答案：8．已知向量a＝(1,3)，a⊥(a－2b)，|a＋b|＝2，则|a－b|＝________.解析：∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，a2＝2a·b，又∵a＝(1,3)，∴2a·b＝10.∴|a－b|2＝|a＋b|2－4a·b＝24－20＝4.∴|a－b|＝2.答案：29．在OA为边，OB为对角线的矩形中，OA＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，则实数k＝________.解析：因为AB＝OB－OA＝(1，k－1)，且OA⊥AB，所以OA·AB＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.答案：4三、解答题10．已知a＝(－4，－3)，b＝(－3，－2)，c＝2a＋λb，d＝－a＋2λb，当实数λ为何值时，向量c－d与a垂直？解：因为c＝2a＋λb，d＝－a＋2λb，所以c－d＝(2a＋λb)－(－a＋2λb)＝3a－λb.又a＝(－4，－3)，b＝(－3，－2)，所以c－d＝3(－4，－3)－λ(－3，－2)＝(－12＋3λ，－9＋2λ)．又∵(c－d)⊥a，所以(－12＋3λ)×(－4)＋(－9＋2λ)×(－3)＝0，解得λ＝.11．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.(1)求证：AB⊥AC；(2)求点D的坐标和向量AD.解：(1)证明：AB＝(－3，－6)，AC＝(2，－1)．∵AB·AC＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB⊥AC.∴AB⊥AC.(2)设点D的坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y－4)，BC＝(5,5)．∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∴AD⊥BC.∴AD·BC＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①又∵BD＝(x＋1，y＋2)，且BD与BC共线，∴5(x＋1)＝5(y＋2)．②由①②∴点D的坐标为.∴AD＝＝.12．已知向量a＝(1，y)，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.(1)求|a|，并求b在a上的射影；(2)若(ka＋2b)∥(2a－4b)，求实数k的值，并确定此时它们是同向还是反向？解：(1)2a＋b＝(3,2y－3)，∵(2a＋b)⊥b，∴3×1－3(2y－3)＝0，y＝2.∴a＝(1,2)，∴|a|＝＝.|b|cosθ＝＝＝－.(2)ka＋2b＝(k,2k)＋(2，－6)＝(k＋2,2k－6)，2a－4b＝(2,4)－(4，－12)＝(－2,16)．∵(ka＋2b)∥(2a－4b)，∴16(k＋2)＋2(2k－6)＝0，解得k＝－1.此时，ka＋2b＝(1，－8)＝－(2a－4b)．∴ka＋2b与2a－4b反向．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．解：(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.
