2.3.4平面向量共线的坐标表示A级：基础巩固练一、选择题1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．a＝(0,0)，b＝(1，－2)B．a＝(－1,2)，b＝(5,7)C．a＝(3,5)，b＝(6,10)D．a＝(2，－3)，b＝(4，－6)答案B解析A中，a＝(0,0)与b＝(1，－2)共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；C中a＝(3,5)与b＝(6,10)＝2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；D中a＝(2，－3)与b＝(4，－6)＝2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．故选B.2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与AB平行且方向相反的向量a可能是()A．(1，－2)B．(9,3)C．(－1,2)D．(－4，－8)答案D解析AB＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，∴(－4，－8)满足条件．3．已知向量a＝(1,2)，(a＋b)∥b，则b可以为()A．(1,2)B．(1，－2)C．(2,1)D．(2，－1)答案A解析设b＝(x，y)，则a＋b＝(x＋1，y＋2)，因为(a＋b)∥b，所以(x＋1)y－x(y＋2)＝0，化简得y－2x＝0，只有A满足．4．若a＝，b＝，且a∥b，则锐角α为()A．30°B．45°C．60°D．75°答案B解析由a∥b，得×－sinαsinα＝0，∴sin2α＝，∴sinα＝±，又α为锐角，∴α＝45°.故选B.5．若平行四边形的3个顶点分别是(4,2)，(5,7)，(－3,4)，则第4个顶点的坐标不可能是()A．(12,5)B．(－2,9)C．(3,7)D．(－4，－1)答案C解析解法一(估算法)：画草图可知符合条件且在第一象限的点只有一个，且位于点(5,7)的右侧，则该点的横坐标要大于5，所以只有C不可能．解法二(向量法)：设第4个顶点坐标为D(m，n)，记A(4，2)，B(5,7)，C(－3,4)．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC或AB＝CD或AC＝DB，∴(1,5)＝(－3－m,4－n)或(1,5)＝(3＋m，n－4)或(－7，2)＝(5－m,7－n)，∴点D为(－4，－1)或(－2,9)或(12,5)，故第4个点坐标不可能为(3,7)．故选C.二、填空题6．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．答案m≠解析若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与AC不共线．∵AB＝OB－OA＝(3,1)，AC＝OC－OA＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，即m≠，∴实数m≠.7．向量a＝(n,1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝______.答案2解析∵a∥b，∴n2－4＝0，∴n＝2或n＝－2，又∵a与b方向相同，∴n＝2.8．已知四边形的顶点A(3，－1)，B(1,2)，C(－1，1)，D(3，－5)，则四边形ABCD的形状为________．答案梯形解析∵AB＝(－2,3)，DC＝(－4，6)，而(－2)×6－3×(－4)＝0，∴AB∥DC.又∵AD＝(0，－4)，BC＝(－2，－1)，而0×(－1)－(－4)×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是一个梯形．三、解答题9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，解得k＝－.(2)因为A，B，C三点共线，所以AB＝λBC，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以解得m＝.10．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标．解设P(x，y)，则DP＝(x－1，y)，DB＝(5,4)，CA＝(－3,6)，DC＝(4,0)．由B，P，D三点共线可得DP＝λDB＝(5λ，4λ)．又∵CP＝DP－DC＝(5λ－4,4λ)，由CP与CA共线，得(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝，∴DP＝DB＝，∴点P的坐标为.B级：能力提升练1．平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且AC＝BC，连接DC，点E在CD上，且CE＝ED，求E点的坐标．解因为AC＝BC，所以2AC＝BC，所以2AC＋CA＝BC＋CA.所以AC＝BA.设C点坐标为(x，y)，则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)．所以x＝－5，y＝－2.所以C(－5，－2)．因为CE＝ED，所以4CE＝ED.所以4CE＋4ED＝5ED.所以4CD＝5ED.设E点坐标为(x′，y′)，则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．所以解得所以E点坐标为.2．已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B三点共线．证明如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1，1)，A(－1,0)．(1)∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.(2)连接MB，MD.∵M为EC的中点，∴M，∴MD＝(－1,1)－＝，MB＝(1,0)－＝.∴MD＝－MB，∴MD∥MB.又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．
