高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理成长训练苏教版必修4夯基达标1.如下图，已知ABCDEF是正六边形，且=a,=b,则等于（）A.（a-b）B.(b-a)C.a+bD.(a+b)连结AD，则=+=a+b，∴==（a+b）.答案:D2.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底，那么（）A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内D.对平面α中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、λ2有无数对解析:平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的.答案:A3.下面给出了三个命题，其中正确命题的个数是（）①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1,λ2使得λ1a=λ2b③平面内的任一向量都可用其他两个向量的线性组合表示A.0B.1C.2D.3解析:命题①，两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题③，平面α内的任一向量都可用其他两个不共线向量的线性组合表示，故①③都不正确.答案:B4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（）A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,)C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,)解析:∵点P在AC上且不包括端点A、C，∴=λ,λ∈(0,1).由平行四边形法则，+=，∴λ（+）=λ=.答案:A5.如下图，在矩形ABCD中，若=5e1,=3e2,则等于（）A.（5e1+3e2）B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1)D.(5e2-3e1)解析:==（+）=（3e2+5e1）.答案:A6.设点O是ABCD两对角线交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与.可作为该平面其他向量基底的是（）A.①②B.①③C.①④D.③④解析：根据平面向量基本定理得，平面内任两个不平行的向量都可以作为这一平面内的一组基底，①③这两组为不平行向量.答案：B7.在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b,=-5a-3b,其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形解析：由已知得与不共线，=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2(-4a-b)=2，∴与共线，∴四边形ABCD是梯形.8.如下图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AG交于点G，若=a,=b,用a,b表示=_______________.解析:==（a+b）=a+b.答案:a+b9.D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a,=b,给出下列命题：①=-a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0,其中正确命题的序号为_______________.解析:如图所示，=+=-b+=-b-a，=+=a+b，=+=-b-a，=+=b+（-b-a）=b-a，++=-b-a+a+b+b-a=0.所以应填①②③④.答案:①②③④10.已知：如右图所示，点L、M、N分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且,若++=0.求证：l=m=n.证明:设=a，=b为基底.由已知得=la，=mb.∵=+=-a-b,∴=n=-na-nb.∴=+=(l-1)a-b,①=+=a+mb,②=+=-na+(1-n)b.③将①②③代入+=0，得（l-n）a+(m-n)b=0.∴l=m=n.11.在△OAB中，=，=，AD与BC交于M点，设=a,=b.（1）用a、b表示；（2）在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M.设=p,=q.求证：=1.解析:设=ma+nb,则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb,=-=b-a=-a+b.∵A、M、D三点共线，∴与共线.∴.∴m+2n=1.①而=-=ma+nb-a=(m-)a+nb,=-=b-a=-a+b,又∵C、M、B三点共线，∴与共线.∴.∴4m+n=1.②∴联立①②解得m=,n=.∴=a+b.(2)证明：∵=-=a+b-p=a+b-pa=（-p）a+b，=-=q-p=qb-pa=-pa+qb，又∵与共线，∴∴·q-pq=-p.∴=1.走近高考12.(2006湖南高考，10)如下图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且=x+y，则实数对（x,y）可以是（）A.(,)B.(-,)C.(-,)D.(,)解析：通过验证法逐一排除，最后选C.答案：C13.(2006广东高考，4)如下图，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（）A.+B.-+C.--D.-解析:∵D为AB的中点，∴=+=-+.答案:B14.(2006安徽高考，14)在ABCD中，=a,=b,=3,M为的中点，则=_________________.（用a,b表示）解析：=+=b+(-b-a)=-a+b.答案：-a+b
