2.3.1平面向量基本定理5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.如图2-3-1所示,、不共线，=t(t∈R)，用、表示.图2-3-1解:、不共线，则、可作基底，据定理有且只有一组实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.2.向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且=-3.设=p，=q,=r，则下列等式成立的是()A.r=-p+qB.r=-p+2qC.r=p-qD.r=-q+2p思路解析:由=-3,得-=-3(-)，即2=-+3，∴=-+，即r=-p+q.答案:A10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1)，O是空间一点，则用、表示为()A.=+λB.=λ+(1-λ)C.=D.=+思路解析:由=λ(λ≠1),得-=λ(-),即=.答案:C2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则等于()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,)C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,)思路解析: 点P在对角线AC上，∴与共线.又=+,=λ(+).当P与A重合时，λ=0；当P与C重合时，λ=1.答案:A3.如图2-3-2所示，四边形ABCD为矩形，且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，=e1，=e2，以e1、e2为基底，表示向量、、及.图2-3-2思路解析:可根据平面几何中有关知识，进行等量代换，并转化为向量的相关知识解决.解: =e1，=e2，∴=e2-e1.依题意有AD=2AB=DE，且F为ED中点，∴四边形ABDF为平行四边形.∴==e2-e1，==e2.∴=+=e2-e1+e2=2e2-e1.4.如图2-3-3所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.图2-3-3思路解析:本题可将c、d看作基底，即用基底表示和.解:设=a，=b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得=b，=a.从△ABN和△ADM中可得即=(2d-c)，=(2c-d).志鸿教育乐园感想甲：听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？乙：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高.甲：何以见得呢？乙：人家大人小孩都会说英语.30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.(2005全国卷Ⅱ)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10)，且A、B、C三点共线，则k=_________________.思路解析:三点共线，则任意两点连线的斜率相等.因为=(k,12)，=(4,5),=(-k,10),所以A(k,12)、B(4,5)、C(-k,10).KAB=KBC,所以，解得k=-.答案:-2.(2005山东)已知向量a、b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D思路解析:本题考查向量的概念及其运算.=+=2a+4b=2，∴A、B、D三点共线.答案:A3.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,)C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,)思路解析:如图，由向量的运算法则=+及点P在对角线AC上,所以与同向,且||<||,故=λ(+),λ∈(0,1).答案:A4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为()A.3x-2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0思路解析:由=α+β，α+β=1,知A、B、C三点共线.∴C点的轨迹是直线AB，由两点式得，即x+2y-5=0.答案:D5.如图2-3-4所示，在△ABC中，M是边AB的中点，E是CM的中点，AE的延长线交BC于F，MH∥AF.求证:==.图2-3-4证明:M为AB中点，MH∥AF，则=x.设=a，=b.=+x，=a+2x.又E为CM的中点，==.=b-，==.又=-=(a+2x)-(+).由+=，(a+2x)-(+)+()=b，+x+=b，3x=b-a，x=(b-a).==(b-a)，而=(b-a)-(b-a)=(b-a).∴==.6.如图2-3-5所示，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ、PS的中点，QL=QR,SM=SR，设KM与LN交于A点，=a，=q，=s，试用q、s表示a.图2-3-5思路解析:本题是求以q、s为一组基底的a的线性分解式.由于=+，而=，关键是.又由于与共线，而可用q、s表示，这样可以求得一个关于q、s的分解式(含参数).同样，利用、还可求得另一个关于q、s的分解式(也含参数).由于关于q、s的分解式的唯一性，就可得到含参数的两个方程，解出参数值，问题便可解决.解法一: 与共线，∴存在实数λ1，使=λ1. =,K为的中点，=,=-,=，∴=++(-)=-+，即=-q+s.∴=-q+λ1s. =+,K为的中点，∴=q-q+λ1s，即=(-)q+λ1s.同样设=λ2，==+-=-=q-s，∴=+=+λ2=s+λ2q-s=(-)s+λ2q. 关于q、s的分解式是唯一的，∴∴=q+s.解法二:由于N、A、L三点共线，故存在α...
