2.3.1平面向量基本定理[学生用书P106(单独成册)])[A基础达标]1．若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②解析：选B．由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B．2．e1，e2为基底向量，已知向量AB＝e1－ke2，CB＝2e1－e2，CD＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A．2B．－3C．－2D．3解析：选A．DB＝CB－CD＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)．又A，B，D三点共线，则DB和AB是共线向量，所以k＝2.3．已知△ABC的边BC上有一点D，满足BD＝3DC，则AD可表示为()A．AD＝AB＋ACB．AD＝AB＋ACC．AD＝－2AB＋3ACD．AD＝AB＋AC解析：选B．由BD＝3DC，得AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为()A．150°B．120°C．60°D．30°解析：选B．设向量a，b的夹角为θ，作BC＝a，CA＝b，则c＝a＋b＝BA(图略)，a，b的夹角为180°－∠C．因为|a|＝|b|＝|c|，所以∠C＝60°，所以θ＝120°.5．若D点在三角形ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则3r＋s的值为()A．B．C．D．解析：选C．因为CD＝4DB＝rAB＋sAC，所以CD＝CB＝(AB－AC)＝rAB＋sAC，所以r＝，s＝－.所以3r＋s＝－＝.6．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．解析：如图所示，设AB＝a，AD＝b，则AE＝a＋b，AF＝a＋b，又因为AC＝a＋b，所以AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.答案：7．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，N是AC上一点且AN＝3NC，M是BC的中点，若用a，b表示MN，则MN＝________．解析：如图所示，连结BD交AC于O点，则O为AC，BD的中点，又因为AN＝3NC，所以AN＝3NC，即N为OC的中点，又M是BC的中点，所以MN\s\do3(═)BO，又BD＝AD－AB＝b－a，所以MN＝BO＝BD＝(b－a)．答案：(b－a)8.如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________．解析：因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，又M为AH的中点，BC＝3，所以AM＝AH＝(AB＋BH)＝(AB＋BC)＝AB＋BC，所以λ＋μ＝.答案：9．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．证明：如图所示，设D、E、F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点，令AC＝a，BC＝b为基底，则AB＝a－b，AD＝a－b，BE＝－a＋b.设AD与BE交于点G1，且AG1＝λAD，BG1＝μBE，则有AG1＝λa－b，BG1＝－a＋μb.又有AG1＝AB＋BG1＝a＋(μ－1)b，所以解得λ＝μ＝.所以AG1＝AD.再设AD与CF交于点G2，同理求得AG2＝AD.所以点G1、G2重合，即AD、BE、CF交于一点．所以三角形的三条中线交于一点．10.如图，已知点G是△ABC的重心，若PQ过△ABC的重心G，且AB＝a，AC＝b，AP＝ma，AQ＝nb(m>0，n>0)，试问m，n的倒数和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．解：因为AB＝a，AC＝b，AD＝(a＋b)，所以AG＝AD＝(a＋b)，由于P、G、Q三点共线，则PG∥GQ⇔PG＝λGQ(λ为正实数)，因为PG＝AG－AP＝(a＋b)－ma＝a＋b，GQ＝AQ－AG＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ，可得a＋b＝0，由于a，b不共线，则必有－m＋λ＝－λn＋λ＝0，消去λ，整理得3mn＝m＋n，所以＋＝3为定值．[B能力提升]1．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AP＝yAD，AQ＝xAB，其中x，y∈R，且均不为0.若PQ∥BE，则＝________．解析：因为PQ＝AQ－AP＝xAB－yAD，由PQ∥BE，可设PQ＝λBE，即xAB－yAD＝λ(CE－CB)＝λ＝－AB＋λAD，所以则＝.答案：2.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是________．解析：由点D是圆O外一点，可设BD＝λBA(λ＞...
