2.1平面向量的实际背景及基本概念A级：基础巩固练一、选择题1．下列说法不正确的是()A．向量的模是一个非负实数B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同答案D解析显然，选项A，B，C说法正确．对于D，由共线向量知，两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同，故错误．故选D.2．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．不共线B．长度不相等C．不可能都是单位向量D．不可能都是零向量答案D解析因为所有的零向量都是相等的向量．故选D.3．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1，其中正确的是()A．①④B．③C．①②③D．②③答案B解析a为任一非零向量，故|a|＞0.故③正确；①②④都错误．4．数轴上点A，B分别对应－1,2，则向量AB的长度是()A．－1B．2C．1D．3答案D解析易知|AB|＝2－(－1)＝3.5．若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形答案C解析由BA＝CD知四边形为平行四边形；由|AB|＝|AD|知四边形ABCD为菱形．二、填空题6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．答案3π解析这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.答案③解析因为a0，b0都是单位向量，所以|a0|＝1，|b0|＝1.从而|a0|＋|b0|＝2.8．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是________．答案西北方向5km解析根据题意画出图形如图所示，由图可知|BC|＝5km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5km.三、解答题9．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB相等的向量共有几个；(2)与AB平行且模为的向量共有几个？(3)与AB方向相同且模为3的向量共有几个？解(1)与向量AB相等的向量共有5个(不包括AB本身)．(2)与向量AB平行且模为的向量共有24个．(3)与向量AB方向相同且模为3的向量共有2个．10．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|AC|＝.(1)画出所有的向量AC；(2)求|BC|的最大值与最小值．解(1)画出所有的向量AC，如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|取得最小值＝；②当点C位于点C5或C6时，|BC|取得最大值＝，∴|BC|的最大值为，最小值为.B级：能力提升练1．在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，回答下列问题：(1)与向量AD相等的向量有哪些？向量AD的相反向量有哪些？(2)与向量AM相等的向量有哪些？向量AM的相反向量有哪些？(3)在模为的向量中，相等的向量有几对？(4)在模为1的向量中，相等的向量有几对？解(1)与AD相等的向量有：MN，BC；与向量AD相反的向量有：DA，NM，CB.(2)与AM相等的向量有：MB，DN，NC；与向量AM相反的向量有：MA，BM，ND，CN.(3)在模为的向量中，相等的向量有：AN与MC，DM与NB，NA与CM，MD与BN，共4对．(4)在模为1的向量中，相等的向量有18对．其中与AD同向的有3对，与AD反向的有3对，与AM同向的有6对，与AM反向的有6对，共18对．2．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α(0°<α<180°)度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．(1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？解(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形．故n(180°－α)＝(n－2)180°.∴即α＝，n为不小于3的整数．
