2.2向量的减法课时跟踪检测一、选择题1．设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是()A．a与b的长度相等B．a∥bC．a与b一定不相等D．a是b的相反向量解析：a、b为零向量时，可以相等．答案：C2．在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则必有()A．AD＝0B．AB＝0或AD＝0C．四边形ABCD为矩形D．四边形ABCD为正方形解析：在平行四边形ABCD中，∵|AB＋AD|＝|AB－AD|，即|AC|＝|DB|，∴四边形ABCD为矩形．答案：C3．如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝()A．－a＋b＋cB．－a＋b－cC．a＋b＋cD．a－b＋c解析：DC＝DA＋AB＋BC＝－b＋a＋c＝a－b＋c.答案：D4．下列各式中不能化简为AD的是()A．(AB－DC)－CBB．AD－(CD＋DC)C．－(CD＋MC)－(DA＋DM)D．－BM－DA解析：(AB－DC)－CB＝AB＋CD＋BC＝AB＋BD＝AD，AD－(CD＋DC)＝AD－0＝AD，－(CD＋MC)－(DA＋DM)＝－MD－DA－DM＝DM＋AD－DM＝AD.答案：D5．在平面上有不共线的A、B、C三点，设m＝AB＋BC，n＝AB－BC，若m与n长度恰好相等，则有()A．△ABC必为正三角形B．△ABC必为直角三角形且∠B为直角C．△ABC必为直角三角形且∠C为直角D．△ABC必为等腰直角三角形解析：m＝AB＋BC＝AC，n＝AB－BC＝AB＋CB画出示意图，由三角形法则及三角形性质可得△ABC为直角三角形，且∠B为直角．答案：B6．已知a，b为非零向量，下列命题中真命题的个数是()①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同；②若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反；③若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|；④若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b方向相同．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①②④正确；③中a＝－2b满足条件，但|a|≠|b|，事实上a与b共线且反向时都有|a|＋|b|＝|a－b|.答案：D二、填空题7．在边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为________．解析：如图，|AB－BC|＝|－BA－BC|＝|BA＋BC|＝2×＝.答案：8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝________.解析：BA－BC－OA＋OD＋DA＝CA－OA＋OA＝CA.答案：CA9．设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一个非零向量，则在下列结论中，正确的为________．①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.解析：a＝AB＋BC＋CD＋DA＝0，∴①③⑤正确．答案：①③⑤三、解答题10．如图，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC，求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：∵AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋AQ＋PB＋QC.∵BP＝QC，∴BP＝QC，∴PB＋QC＝0，∴AB＋AC＝AP＋AQ.11.如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用向量a，b，c表示向量BD，BC，BE，CD及CE.解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，BE＝AE－AB＝c－a，CE＝AE－AC＝c－b，所以BD＝BC＋CD＝b－a＋c.12．如图所示，已知在矩形ABCD中，|AD|＝4，|AB|＝8.设AB＝a，BC＝b，BD＝c，求|a－b－c|.解：解法一：如图，b＋c＝BD′，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－BD′＝BB′－BD′＝D′B′，则|a－b－c|＝|D′B′|＝＝8.解法二：|a－b－c|＝|AB－BC－BD|＝|AB－AD－BD|＝|DB＋DB|＝2|DB|＝2×＝8.13．如图，O是△ABC的外心，H为垂心，求证：OH＝OA＋OB＋OC.证明：作圆的直径BD，连接DA、DC，则OB＝－OD，AD⊥AB，DC⊥BC，连接AH、CH，因为H是△ABC的垂心，故有AH⊥BC，CH⊥AB.∴CH∥AD，AH∥CD，则四边形AHCD为平行四边形．∴AH＝DC＝OC－OD＝OC＋OB，∴OH＝OA＋AH＝OA＋OB＋OC.
