1.3.1空间几何体的表面积[学业水平训练]1．(课本改编题)棱长都是1的三棱锥的表面积为________．解析：棱长都相等的三棱锥四个面均为等边三角形，也叫正四面体．故棱长都是1的三棱锥的表面积为4×＝.答案：2．给出下列命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．解析：①错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；②正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是②③④⑤.答案：②③④⑤3．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________．解析：因为底面周长2πr＝2π，所以圆柱的底面半径r＝1，则圆柱的两个底面面积为2πr2＝2π，又圆柱的侧面面积为2π×1×2＝4π，所以圆柱的表面积为2π＋4π＝6π.答案：6π4．正三棱台的两底面边长分别为6和8，侧面积与两底面面积之和的比为21∶25，则正三棱台的斜高为________．解析：设正三棱台的斜高为h′，则S侧＝(c＋c′)h′＝(3×6＋3×8)h′，S底＝S上＋S下＝×62＋×82＝25. ＝，∴＝，∴h′＝.答案：5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是________．解析：设圆锥的底面半径为r，则有l＝2πr，所以l＝3r，所以＝＝＝.答案：4∶36．三棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1cm的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为4cm，一个小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，则小虫所行的最短路程为________cm.解析：三棱柱ABC－A′B′C′侧面展开是长为4cm，宽为3cm的矩形，所以小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，小虫所行的最短路程为矩形的对角线长，应为5cm.答案：57.如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面积是多少？(π取3.14)解：正方体的表面积为42×6＝96(cm2)，一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28(cm2)，则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68(cm2)．8．一个正三棱台的两底面的边长分别为8cm、18cm，侧棱长是13cm，求它的全面积．解：上底面周长为c′＝3×8＝24cm，下底面周长c＝3×18＝54cm，斜高h′＝＝12cm，∴S正棱台侧＝(c＋c′)h′＝×(24＋54)×12＝468cm2，S上底面＝×82＝16cm2，S下底面＝×182＝81cm2，∴正三棱台的全面积为S＝468＋16＋81＝468＋97cm2.[高考水平训练]1．(课本改编题)中心角为135°，面积为A的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为B，则A∶B等于________．解析：设扇形的母线长为l，围成圆锥的底面半径为r，则扇形的弧长c＝＝＝2πr，解得r＝，扇形的全面积A＝c·l＝，圆锥的全面积B＝πr2＋＝π2＋＝.∴A∶B＝8∶11.答案：8∶112．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为________．解析：由题意可知，组成的棱柱是直四棱柱，且满足条件的直四棱柱只有一种，即组成新的四棱柱以后的表面积是由原来的正方体中的四个相同的正方形的面积和两个对角面的面积组成，四棱柱的全面积等于侧面积与两个底面面积之和，则所得的四棱柱的全面积为4a2＋a·a·2＝(4＋2)a2.答案：(4＋2)a23.如图，已知棱锥P－ABC的侧面是全等的等腰直角三角形，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝90°，PA＝PB＝PC＝a，M是AB的中点．一只小虫从M点沿侧面爬到C点，求小虫爬行的最短路程．解：将棱锥P－ABC沿PA剪开，展成如图所示的平面图形． ∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝90°，PA＝PB＝PC＝a，∴AB＝BC＝a.立体图形中的上述数量关系除AC外在平面图形中保持不变．在展开图中，MB＝a，BC＝a，∠MBC＝90°，∴MC2＝MB2＋BC2＝a2＋2...
