高中数学 第1章 立体几何初步 1-4-2-2 空间图形的公理（第2课时）随堂巩固验收 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题VIP免费

4.2空间图形的公理(第2课时)1．过一点与已知直线垂直的直线有()A．一条B．两条C．无数条D．无法确定[解析]过一点与已知直线垂直的直线有无数条，包括相交垂直和异面垂直．[答案]C2．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析]不相交的直线有可能是平行也有可能是异面，故A不正确；如图①中，aα，bβ，但是，a∩b＝A，故B不正确；如图②，aα，bα，但是a∩b＝A，故C不正确；D是异面直线的定义．[答案]D3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥cB．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面[解析]a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D.[答案]D4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为()A．1B．2C．3D．0或1[解析]以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例．令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l平行，故选D.[答案]D探究空间中四边形的形状问题根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．【示例】如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．[思路分析]欲证EFGH为平行四边形，只需证EH∥FG，只需证BD∥FG且BD∥EH.[证明]连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH＝BD.同理，FG∥BD，且FG＝BD.因此EH∥FG.又EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形．[引申探究](1)本例中若加上条件“AC⊥BD”，则四边形EFGH是什么形状？(2)本例中，若加上条件“AC＝BD”，则四边形EFGH是什么形状？(3)本例中，若加上条件“AC⊥BD，且AC＝BD”，则四边形EFGH是什么形状？[解](1)由例题可知EH∥BD，同理EF∥AC，又BD⊥AC，因此EH⊥EF，所以四边形EFGH为矩形．(2)由例题知EH∥BD，且EH＝BD，同理EF∥AC，且EF＝AC.又AC＝BD，所以EH＝EF.又EFGH为平行四边形，所以EFGH为菱形．(3)由(1)(2)可知，EFGH为正方形．[针对训练]如图所示，设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ(λ，μ∈(0,1))，试判断四边形EFGH的形状．[解]连接BD，在△ABD中，＝＝λ，∴EH∥BD，且EH＝λBD.在△CBD中，＝＝μ，∴FG∥BD，且FG＝μBD，∴EH∥FG，∴顶点E、F，G、H在由EH和FG确定的平面内．(1)当λ＝μ时．EH＝FG，故四边形EFGH为平行四边形；(2)当λ≠μ时．EH≠FG，故四边形EFGH是梯形．