第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式学业分层测评新人教B版选修4-5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.设a>0，b>0，且a＋b≤4，则有()A.≥B.＋≥1C.≥2D.≤【解析】4≥a＋b≥2，∴≤2，∴≥，＋≥2≥1.【答案】B2.设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为()A.2B.C.1D.【解析】因为x，y∈R，a＞1，b＞1，且ax＝by＝3，a＋b＝2，所以x＝loga3，y＝logb3，＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3(ab)，由均值定理，ab≤＝3，故＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log33＝1.【答案】C3.设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A.8B.4C.1D.【解析】由题意，知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，故a＋b＝1.因为a＞0，b＞0，所以＋＝·(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立.【答案】B4.已知m＝a＋＋1(a＞0)，n＝3x(x＜1)，则m，n之间的大小关系是()【导学号：38000007】A.m＞nB.m＜nC.m＝nD.m≤n【解析】因为a＞0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时，等号成立.又因为x＜1，所以n＝3x＜31＝3，所以m＞n.【答案】A5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件【解析】每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，∴每批应生产产品80件，故选B.【答案】B二、填空题6.已知x＜，则函数y＝4x＋的最大值为________.【解析】因为x＜，所以4x－5＜0，所以5－4x＞0.所以y＝4x＋＝(4x－5)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝3，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.故当x＝1时，y取最大值，即ymax＝3.【答案】37.设点P(x，y)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2x＋log2y的最大值是________.【解析】要求log2x＋log2y的最大值，即求log2(xy)的最大值，应先求xy的最大值.显然当x＝y＝时，xy的最大值为，故log2x＋log2y的最大值为－2.【答案】－28.函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________.【导学号：38000008】【解析】因为y＝loga(x＋3)－1恒过点(－2，－1)，所以A(－2，－1).因为A在直线上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.又因为mn＞0，所以m＞0，n＞0.又因为＋＝＋＝2＋＋2＋≥4＋2＝8，当n＝，m＝时，等号成立，所以＋的最小值为8.【答案】8三、解答题9.已知a，b都是正数，且a＋b＝1，(1)求证：＋≥4；(2)求2＋2的最小值.【解】(1)证明：＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.(2)＋≥2·，即＋≥.又 ≥得0＜ab≤，即≥4，∴1＋≥5，∴＋≥，当且仅当a＝b＝上式等号成立.10.如图122所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏目的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？图122【解】设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，.其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)＝18000，由此得y＝＋25，广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，整理得S＝＋25(x－20)＋18500.因为x－20>0，所以S≥2＋18500＝24500.当且仅当＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x>20)，解得x＝140，代入y＝＋25，得y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小.[能力提升]1.已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是()A.2B.2C.4D.5【解析】＋＋2＝＋2，因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立.所以＋2≥＋2＝2≥2×2＝4，当且仅当＝时，等号成立.综上所述，a＝b＝1时，取等号.【答案】C2.如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是()A.πB.πC.πD.π【解析】l＝4r＋2h，即2r＋h＝，V＝πr2h≤π＝π.当且仅当r＝h＝时等号成立.【答案】A3.设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的...
