4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用一、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图所示：外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离——没有公共点，两圆相切——有惟一公共点，两圆相交——有两个不同的公共点.2．圆与圆位置关系的判断（1）几何法位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相离0两圆内含两圆相交2两圆内切1两圆外切其中和分别是圆和圆的半径,.（2）代数法联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:方程组解的个数210两圆的公共点个数210两圆的位置关系相离或内含二、直线和圆的方程的应用直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过,解决代数问题;第三步:把结果“翻译”成几何结论.名师提醒用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：（1）应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，不可随便建立；（2）在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；（3）最后一定要将代数结果转化成几何结论.K知识参考答案：一、2．（2）相交外切或内切二、坐标和方程代数运算代数运算K—重点圆与圆位置关系及判定K—难点直线与圆的方程的应用K—易错两圆的位置关系考虑不全面致错1．圆与圆的位置关系及判定判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆连心线的长，若，两圆外切；时，两圆内切；时，两圆外离；时，两圆内含；时，两圆相交．根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径长的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.【例1】已知两圆：，，判断圆与圆的位置关系.方法二：将两圆的方程联立得到方程组，由得（3），由（3）得，把此式代入（1），并整理得（4），方程(4)的判别式，所以，方程（4）有两个不相等的实数根,把分别代入方程（3），得到.所以，圆与圆有两个不同的公共点，即两圆的位置关系是相交.【例2】试分别确定圆C1:与C2:外切、内切、相交、内含、外离时,k的取值范围.【例3】求与圆外切，且与直线相切于点M(3，)的圆的方程.【解析】设所求圆的方程为，由于该圆与圆外切，则圆心距等于半径之和，故有①.又与直线相切于点M(3，)，则可知圆心与切点的连线与直线垂直，有②，③，解①②③得.故所求圆的方程为.【名师点睛】明确求圆的方程是标准方程还是一般方程，然后根据几何关系建立方程（组）求得参数的值，从而得出所求的圆的方程.注意在应用待定系数法时要尽量减少未知量的个数.2．两圆的公共弦问题（1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数.（2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解.【例4】已知两圆和.（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在直线的方程；（3）求公共弦的长度．【解析】（1）将两圆方程配方化为标准方程，则圆的圆心为，半径；圆C2的圆心为，半径.又，，.∴，∴两圆相交．（2）将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为.（3）方法一：两方程联立，得方程组，两式相减得③，把③代入②得，∴.∴，或.∴交点坐标为和．∴两圆的公共弦长为.方法二：两方程联立，得方程组两式相减得，即为两圆相交弦所在直线的方程；由，得，其圆心为，半径.圆心到直线的距离，∴两圆的公共弦长为.【例5】已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2-6x+2y-40=0相交,圆C过原点O,半径长为,圆心C在已知两圆公共弦所在的直线上,求圆C的方程.【解析】设圆C1与圆C2交于A,B两点,两圆的方程相减,消去二次项得到一个二元一次方程x+3y-10=0,此方程为公共弦AB所在直线...
