高中数学 第03章 直线与方程 专题3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程试题 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

3.2.1直线的点斜式方程3.2.2直线的两点式方程一、直线的点斜式方程1．直线的点斜式方程的定义已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为.这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的，简称.当直线l的倾斜角为0°时(如图1)，,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是,或.当直线l的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是,或.深度剖析（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.（2）当取任意实数时，方程表示过定点的无数条直线.2．直线的点斜式方程的推导如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得(1),即(2).注意方程(1)与方程(2)的差异：点的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点不在方程(1)表示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l的方程.上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点,斜率为k的直线l的方程.二、直线的斜截式方程1．直线的斜截式方程的定义我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的.如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的，简称.当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线.深度剖析（1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数.纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时.（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.2．直线的斜截式方程的推导已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线l的方程.这个问题相当于给出了直线上一点及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得,即.三、直线的两点式方程1．直线的两点式方程的定义已知直线过两点,当时，直线的方程为.这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式.2．直线的两点式方程的推导已知直线过两点(其中)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的.当时，所求直线的斜率.任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得,当时，可写为.四、直线的截距式方程1．直线的截距式方程的定义已知直线过点，()，则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为___________.我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的_____________，此时直线在轴上的截距是___________.这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式.2．直线的截距式方程的推导已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中.将两点,的坐标代入两点式，得,即.五、中点坐标公式若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为,则.此公式为线段的中点坐标公式.六、直线系方程1．过定点的直线系方程当直线过定点时，我们可设直线方程为.由此方程可知，k取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点,当k取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点的许多直线，所以把这个方程叫做过定点的直线系方程.由于过点与x轴垂直的直线不能被表示，因此直线系()中没有直线.2．平行直线系方程在斜截式方程中，若k一定，而b可变动，方程表示斜率为k的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线系.K知识参考答案：一、点斜式方程点斜式二、截距斜截式方程斜截式三、四、截距五、K—重点直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，根据直线方程判定两直线的平行与垂直K—难点直线系问题、直线方程的综合应用K—易错忽略直线重合的情形或直线方程成立的条件致错、忽略直线方程的局限性致错1．直线的点斜式方程用点斜式求直线的方程，确定直线的斜率和其上一个点的坐标后即可求解.【例1】已知点和直线l：.求：（1）过点A且与直线l平行的直线方程；（2）过点A且与直线l垂直的直线方程.【例2】已知在第一象限的中,A(1,1),B(5,1),且∠CAB=...