第四章§11.2利用二分法求方程的近似解一、选择题1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上()A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点[答案]B[解析] f(x)＝－(x－2)2＝0，∴x＝2∈[1,3]，故选B.2．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的变号零点个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]左起3个为变号零点而第4个是不变号零点，故选C.3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2][答案]A[解析]二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0，显然：f(－2)＝－3，f(1)＝6.∴f(－2)·f(1)<0.4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是不间断的，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在该区间上()A．只有一个零点B．有二个零点C．不一定有零点D．至少有一个零点[答案]D[解析]若y＝f(x)在[a，b]上单调，f(a)·f(b)<0说明只有一个零点且为变号零点．若不单调，零点个数有可能多于一个．故选D.5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0，在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间()A．(1.25,1.5)B．(1,1.25)C．(1.5,2)D．不能确定[答案]A[解析] f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A.6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上()A．有3个零点B．有2个零点C．有1个零点D．没有零点[答案]C[解析] f(0)＝1>0，f(1)＝0，f(2)＝3>0，∴有一个零点．二、填空题7.若函数y＝mx2＋x－2没有零点，则实数m的取值范围是________．[答案](－∞，－)[解析]当m＝0时，函数有零点，所以应有解得m<－.8．已知函数f(2x)＝3x2＋1，则f(x＋5)有________个零点．[答案]0[解析] f(2x)＝3x2＋1，∴f(x)＝＋1，∴y＝f(x＋5)＝＋1，令y＝0，方程无解．即f(x＋5)无零点．三、解答题9．求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．[解析]设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0.而二次函数f(x)＝5x2－7x－1是连续的，∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．10．求函数y＝x3－4x的零点，并画出它的图像．[解析] x3－4x＝x(x2－4)＝x(x－2)(x＋2)，∴函数y＝x3－4x的零点为0，－2,2，这三个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)．列出这个函数的对应值表：x…－2.5－2－1－0.500.5122.5…y…－5.625031.8750－1.875－305.625…在直角坐标系中描点作图，图像如图所示：一、选择题1．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.7)的一个根所在的区间是()x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)[答案]C[解析]判断ex－(x＋2)＝0的一个根所在的区间转化为f(x)＝ex－(x＋2)零点的位置， f(1)＝e1－(1＋2)<0，f(2)＝7.39－4>0.∴零点在(1,2)内．2．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点[分析]利用二次函数在区间(a，b)内的图像确定．[答案]C[解析]如图，若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)如图(1)或图(2)所示，可知A错，若如图(3)所示，可知B错、D错，C对．二、填空题3．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下的对应值表：x－2－101234567f(x)－136－2161913－1－8－2429则下列判断正确的是________．(1)函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点；(2)函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点；(3)函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点；(4)函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．[答案](1)(2)(3)[解析]观察对应值表，不难得到f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)，(2,3)，(5,6)内至少各有一个零点．而(－1,7)内至少有三个零点．故应填(1)(2)(3)．4．(2015·北京高考)设函数f(x)＝①若a＝1，则f(x)的最小值为________；②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．[答案]①－1②≤a<1或a≥2[解析]①a＝...
