课时作业(十八)简单的线性规划问题A组基础巩固1．设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为()A．20B．35C．45D．55解析：根据不等式组确定平面区域，再平移目标函数求最大值．作出不等式组对应的平面区域(如下图)，平移直线y＝－x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x＋3y取得最大值55，故选D.答案：D2．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为()A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3]解析：因为a⊥b，所以2(x＋z)＋3(y－z)＝0，则z＝2x＋3y，x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则点(x，y)的可行域如下图中阴影部分所示．当z＝2x＋3y经过点A(0,1)时，z＝2x＋3y取得最大值3；当z＝2x＋3y经过点C(0，－1)时，z＝2x＋3y取得最小值－3.答案：D3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－D．－解析：已知的不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－.答案：C4．若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：如图首先根据目标函数有最大值，可知m>0(否则平面区域不封闭，则最值不存在)．即m>0时，可行域如图．结合图形当将直线x＋y＝0平移至点A时，目标函数z＝x＋y取得最大值9，因此点A可视为两直线x＋y＝9,2x－y－3＝0的交点，联立方程可得A(4,5)．又点A在直线x－my＋1＝0上，1代入直线方程可得m＝1.答案：C5．在平面直角坐标系中，动点M(x，y)满足条件动点Q在曲线(x－1)2＋y2＝上，则|MQ|的最小值为()A.B.C．1－D.－解析：圆(x－1)2＋y2＝的圆心坐标为(1,0)，半径r＝，则圆心到可行域的最小距离为到直线x－y＋2＝0的距离，即d＝＝，∴|MQ|的最小值为d－r＝，故选A.答案：A6．设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．解析：画出约束条件表示的规划区域，如图．当目标函数z＝abx＋y运动到A(1,4)时，目标函数z取得最大值，即8＝ab＋4，∴ab＝4. (－)2≥0，∴a＋b－2≥0，即a＋b≥2＝4.答案：47．已知点P(x，y)满足点A(2,0)，则|OP|·sin∠AOP(O为坐标原点)的最大值为________．解析：由于|OP|sin∠AOP＝|OP|×＝yp，故将不等式组表示的可行域作出，如右图易知点P的纵坐标取得最大值，解得yp＝.答案：8．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围是________．解析：由变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2，在坐标系中画出可行域，如图中的阴影部分所示，为四边形ABCD，其中A(3,1)，kAD＝1，kAB＝－1.目标函数z＝ax＋y(其中a>0)中的z表示斜率为－a的一族平行直线在y轴上的截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于kAB＝－1，即－a<－1，所以a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)9．设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足条件，求z的最大值和最小值．解：作出不等式组的可行域(如右图所示)．令t＝2y－2x，则z＝t＋4.将t＝2y－2x变形得直线l：y＝x＋.则其与y＝x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大；当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小．∴zmax＝2×2－2×0＋4＝8，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人2打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x万元、y万元，盈利为z万元．根据题意可知即目标函数为z＝x＋0.5y.作出可行域如下图阴影部分所示．令z＝0作直线l：x＋0.5y＝0.当直线l向上平移时，所对应的z＝x＋0.5y的函数值随之增大，所以当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x＋0.5y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1...
