高中数学2.6平面向量数量积的坐标表示同步精练北师大版必修41．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为()A．18B．19C．20D．212．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)＝()A．20B．54C．(－10,30)D．(－8,24)3．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝()A．4B．2C．8D．84．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A．B．C．D．5．如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|＝|a|·|b|sinθ.如果|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－3，则|a×b|＝()A．3B．－4C．4D．56．已知向量a是直线x＋2y－3＝0的方向向量，且|a|＝2，则a＝__________.7．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝__________.8．设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则t的值为__________．9．在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？10．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.(1)求证：AB⊥AC；(2)求点D的坐标和向量.参考答案1．解析：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．因为ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即10(k－3)＋(－4)(2k＋2)＝0，解得k＝19.答案：B2．解析：∵a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，∴(a·b)(a＋b)＝(－10,30)．答案：C3．解析：∵c＝a－(a·b)b＝a－6b＝(8，－8)，∴|c|＝＝8.答案：D4．解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，∴－3(1＋m)＝2(2＋n)．①又∵c⊥(a＋b)，∴3m－n＝0.②由①②解得m＝－，n＝－.答案：D5．解析：由于|a|＝5，|b|＝1，a·b＝|a||b|cosθ＝－3，所以cosθ＝－.又因为θ为向量a与b的夹角，所以sinθ＝，所以|a×b|＝|a||b|sinθ＝5×1×＝4.答案：C6．解析：设a＝λ(λ≠0)．由|a|＝2，得λ2＋λ2＝20，解得λ＝±4，所以a＝(4，－2)或(－4,2)．答案：(4，－2)或(－4,2)7．解析：设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)．由题意得⇒∴a＝(－1,1)或(－3,1)．答案：(－1,1)或(－3,1)8．解析：∵a＝(4，－3)，b＝(2,1)，∴a＋tb＝(4＋2t，－3＋t)．∵a＋tb与b的夹角为45°，∴(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，∴2(4＋2t)＋(－3＋t)×1＝××，∴5t＋5＝·.∴＝(t＋1)．①将①式两边平方得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3.而t＝－3时，①式无意义，∴t＝－3舍去，故t＝1.答案：19．解：因为a＋b＋c＋d＝0，所以a＋b＝－(c＋d)．所以(a＋b)2＝(c＋d)2.即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2.由于a·b＝c·d，所以|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①同理，有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2.②由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|，即四边形ABCD的两组对边分别相等．所以四边形ABCD是平行四边形．又由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0.而由平行四边形ABCD的性质得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，即a·b＝0.所以a⊥b.亦即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形．10．(1)证明：＝(－3，－6)，＝(2，－1)．∵＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴.∴AB⊥AC.(2)解：设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)．∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∴.∴＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①又∵＝(x＋1，y＋2)，且与共线，∴5(x＋1)＝5(y＋2)．②由①②，解得.∴点D的坐标为.∴＝＝.
