2.4.1向量在几何中的应用课后导练基础达标1.过点P′（1，2）且平行于向量a=（3，4）的直线方程为（）A.3x+4y-11=0B.3x+4y+11=0C.4x-3y+2=0D.4x-3y-2=0解析:设P（x,y)是直线上一点，则=(x-1,y-2),∵∥a，∴4(x-1)-3(y-2)=0，整理得4x-3y+2=0.答案:C2.过点A（2，3）且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为（）A.2x+y-7=0B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0D.x-2y-4=0解析:设P（x,y)是直线上一点，则=（x-2,y-3)，∵⊥a,∴·a=0.∴2(x-2)+(y-3)=0.整理得2x+y-7=0.答案:A3.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P且++=，则点P与△ABC的位置关系是（）A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上解析：∵++=,∴+=+=,即=2.∴A、C、P三点共线，即P在边AC上.答案：D4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C）,则等于（）A.λ(+）,λ∈(0,1)B.λ(+）,λ∈(0,)C.λ(-）,λ∈(0,1)D.λ(-）,λ∈(0,)解析：由向量运算法则=+及点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||.故=λ（+），λ∈(0,1).答案：A5.已知A（1，2）、B（3，4）、C（5，0）,则sin∠BAC等于…（）A.B.C.D.解析:∵=(2,2),=(4,-2),∴cos∠BAC=,∴sin∠BAC=.答案:A6.ABCD三个顶点坐标分别为A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4）,则顶点D的坐标为（）A.（2，1）B.（2，2）C.（1，2）D.（2，3）解析:设D（x,y）,∵ABCD为平行四边形，∴=，即（1，2）=（3-x,4-y）,∴∴D(2,2).答案:B7.在四边形ABCD中，=，且·=0，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由=可得四边形ABCD为平行四边形，又因为·=0，即⊥，所以∠B=90°.所以四边形ABCD为矩形.答案:C8.三角形ABC三个顶点坐标为（4，1），（-1，6），（4，11），则△ABC是（）A.等腰三角形B.既非等腰又非直角三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形解析:∵A（4，1），B（-1，6），C（4，11），并且||=（-5，5），=（5，5），∴·=-25+25=0，||=||.∴△ABC为等腰直角三角形.答案:D综合运用9.已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·=_____.解析：∵||2+||2=||2，∴△ABC为直角三角形.其中∠B=90°，∴·+·+·=0+||||cos（π-∠C）+||||·cos（π-∠A）=-25.答案：-2510.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（+-2）·（-）=0，则△ABC的形状是_____.解析：∵（+-2）·（-）=0，∴（+）·（-）=0,即||2-||2=0,||=||.故△ABC为等腰三角形.答案：等腰三角形11.如下图所示,已知ABCD是菱形，AC和BD是它的两对角线，求证:AC⊥BD.证法一：∵=+，=-，∴·=（+）·（-）=||2-||2=0.∴⊥.证法二：以BC所在直线为x轴，B为原点建立坐标系.设B（0，0），A（a,b),C(c,0),则由||=||，得a2+b2=c2.∵=-=（c-a,-b),=+=(a+c,b),∴·=c2-a2-b2=0.∴⊥，即AC⊥BD.拓展探究12.如图，已知点L、M、N分别在△ABC的边BC、CA、AB上，且=l,=m,=n,又++=0,求证:l=m=n.证明：=+,=+,=+.由已知=l,=m,=n,∴++=(+)+(+)+(+)=(++)+(l+m+n).∵++=0,++=0,∴l+m+n=0.∴-l+m+n=0.∴-l(-)+m+n=0.∴(n-l)+(m-l)=0.当n≠l时，=,∴A、B、C三点共线，与已知矛盾.∴n=l,于是（m-l)=0.由≠0,知m=l,故l=m=n.
