向量数量积的坐标运算与度量公式1．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为()A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)2．已知m＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则n的坐标为()A．(b，－a)B．(－a，b)C．(－a，b)或(a，－b)D．(b，－a)或(－b，a)3．已知a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，且a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围为()A．m＞2或m＜B．＜m＜2C．m≠2D．m≠2且m≠4．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b5．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为__________．6．已知O为坐标原点，＝(3,1)，＝(－1,2)，⊥，∥，则满足＋＝的向量的坐标为__________．7．(2012·天津期末)定义平面向量之间的一种运算“⊗”如下，对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令ab＝mq－np，给出下面五个判断，其中正确的有__________．(填正确的序号)①若a与b共线，则ab＝0；②若a与b垂直，则ab＝0；③ab＝ba；④对任意的λ∈R，有(λa)b＝λ(ab)；⑤(ab)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2.8．(2012·山东济宁期末)已知a＝(1,2)，b＝(－3,1)．(1)求a－2b；(2)设a，b的夹角为θ，求cosθ的值；(3)若向量a＋kb与a－kb互相垂直，求k的值．9．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求此时a，b的夹角θ.参考答案1．解析：设c＝(x，y)，∵c⊥a，∴2x－3y＝0.①又b·c＝1，∴x－2y＝1.②综合①②知x＝－3，y＝－2.∴c的坐标为(－3，－2)．答案：C2．解析：设向量n的坐标为(x，y)．由|m|＝|n|，得a2＋b2＝x2＋y2.①由m⊥n，得ax＋by＝0.②解①②组成的方程组，得或所以n的坐标为(b，－a)或(－b，a)．答案：D3．解析：a与b的夹角大于90°a·b＜0，而a·b＝(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)＝3m2－2m－8.解不等式3m2－2m－8＜0，得＜m＜2.答案：B4．答案：C5．解析：向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．因为λa＋b与a－2b垂直，所以3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝.答案：6．解析：设＝(x，y)，则＝＋＝(x＋3，y＋1)，∴＝－＝(x＋4，y－1)．∵⊥，∴－(x＋3)＋2(y＋1)＝0，即x－2y＋1＝0.①又∵∥，∴3(y－1)－(x＋4)＝0，即x－3y＋7＝0.②由①②，解得x＝11，y＝6.∴＝(11,6)．答案：(11,6)7．答案：①④⑤8．解：(1)a－2b＝(1,2)－2(－3,1)＝(1＋6,2－2)＝(7,0)．(2)cosθ＝＝.(3)因为向量a＋kb与a－kb互相垂直，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.因为a2＝5，b2＝10，所以5－10k2＝0k＝.9．解：(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝1，|b|＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝.(2)由(1)，得a·b＝，由函数的单调性的定义，易知f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k＝1时，a·b的最小值为f(1)＝×(1＋1)＝.此时a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝60°.
