高中数学 2.2 直线的方程 2.2.2 直线方程的几种形式课堂探究 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

2.2.2直线方程的几种形式课堂探究探究一直线方程的点斜式利用点斜式求直线方程的步骤如下：①确定直线要经过的定点(x0，y0)．②明确直线的斜率k．③由点斜式直接写出直线方程．注意：点斜式使用的前提条件是斜率存在；当斜率不存在时，直线没有点斜式方程，其方程为x＝x0．【典型例题1】求满足下列条件的直线的方程：(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－2；(2)过点P(2，－5)，且与x轴平行；(3)过点P(3，－1)，且与y轴平行．思路分析：利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答．解：(1)直线过点P(－4,3)，斜率k＝－2，由点斜式得y－3＝－2(x＋4)，整理得所求方程为2x＋y＋5＝0．(2)直线过点P(2，－5)，且与x轴平行，则斜率k＝0，故所求直线方程为y＋5＝0(x－2)，即y＝－5．(3)直线与y轴平行，说明斜率不存在，又因为直线过点P(3，－1)，所以直线的方程为x＝3．探究二直线方程的斜截式(1)由直线斜截式方程的推导过程可以看出，在点斜式中若点P(x0，y0)为直线l与y轴的交点，得到的直线方程即为斜截式，因此斜截式为点斜式的特殊情况．(2)直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用直线方程的斜截式表示．因此，斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线．(3)斜截式方程y＝kx＋b的特点：左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标，直线与y轴的交点与原点的距离为|b|．【典型例题2】(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．解：(1)易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x－2．(2)由于直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化成斜截式为y＝－x＋4．(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)．探究三直线方程的两点式(1)当直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式求出它的方程，若x1＝x2，y1≠y2，则直线方程为x－x1＝0；若y1＝y2，x1≠x2，则直线方程为y－y1＝0．(2)直线方程的两点式不能表示与坐标轴垂直的两类直线．若变形为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，此时可表示过任意两点的直线的方程．【典型例题3】(1)求过两点(2，－5)和(－2,3)的直线的两点式方程；(2)求过两点A(0,0)，B(1,1)的直线方程．解：(1)由直线的两点式方程得所求直线的方程为＝，即＝．(2)由直线的两点式方程得直线AB的方程为＝，即y＝x，也就是x－y＝0．探究四直线方程的截距式对直线的截距式方程应注意以下几点：①在方程＋＝1中，要求a≠0，b≠0，即两个截距都不为0，因此它不能表示过坐标原点或平行于x轴、y轴的直线．②当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时，若选用截距式来求解，注意截距都为0，即直线过原点这种情况．【典型例题4】在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是()A．4x＋3y－12＝0B．4x－3y＋12＝0C．4x＋3y－1＝0D．4x－3y＋1＝0解析：根据直线方程的截距式写出直线方程＋＝1，化简得4x－3y＋12＝0，故选B．答案：B探究五直线方程的一般式(1)直线的一般式方程与其他四种形式的转化：(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．【典型例题5】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．思路分析：(1)从截距的定义入手，因方程中含有变量a，故需要对截距进行分类讨论．(2)中涉及图象过象限问题，可将方程转化为斜截式，从斜率和截距两方面进行综合考虑．解：(1)...