【优化课堂】2016秋高中数学1.7.3球练习北师大版必修2[A基础达标]1．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()A.B．C.D．解析：选C.因为πr2h＝πR3，所以R＝.2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的()A．2倍B．倍C．2倍D．倍解析：选C.设原来球的半径为r，扩大后球的半径为R，依题意可知＝2，所以R＝r.所以＝＝＝2.即球的体积扩大到原来的2倍．故C正确．3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()第3题图第4题图A．9π＋42B．36π＋18C.π＋12D．π＋18解析：选D．由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V球＝π·＝，V长方体＝2×3×3＝18.所以V总＝π＋18.4．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()A．12πB．24πC．32πD．48π解析：选D．由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为×4＝4，即球的半径为2，所以该球的表面积是4π(2)2＝48π.5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为()A.B．C.D．解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体PCDE，我们容易求得该正四面体外接球半径为，所以外接球的体积V＝π＝.6.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为xcm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－πx3×3，解得x＝4.答案：47．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意建立方程组，设两球半径分别为R、r(R＞r)，则即所以R－r＝2.答案：28．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2等于球的直径，则球的半径是，则此球的体积为π()3＝π.答案：π9．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为hcm，半径为rcm.试管的容量为108πcm3，半球部分容量为全试管容量的.(1)求r和h；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4cm处，求水的体积．解：(1)因为半球部分容量为全试管容量的，所以半球部分与圆柱体部分容量比为，即＝，所以h＝r，πr3×＝108π×，所以r＝3(cm)，h＝10(cm)．(2)V＝πr3×＋πr2×(h－4)＝π×33×＋π×32×6＝72π(cm3)．10．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解：设正方体的棱长为a.如图所示．图(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2.图(2)中球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2.图(3)中正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.[B能力提升]1．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()A．S球＜S圆柱＜S正方体B．S正方体＜S球＜S圆柱C．S圆柱＜S球＜S正方体D．S球＜S正方体＜S圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则πr2·2r＝πR3＝a3，＝，＝2π，S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，＝＝·＝＜1，＝＝·＝＞1.故选A.2．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为________．解析：如图，过正三棱锥PABC的顶点P作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，|PM|＝6，连接AM，AO，则|OP|＝|OA|＝R，在Rt△OAM中，|OM|＝6...
