第16课分数指数幂江苏省启东中学黄群力[教学目标]1、理解正数的分数指幂和正数的无理指数幂的意义，会用幂的运算法则进行运算。2、体会用“有理数逼近无理数”的思想，可利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”过程。[学习指导]1、重点:用幂的运算法则进行运算；难点:是对分数指数幂的理解。2、教材分析(1)分数指数幂①的意义，分数指数幂是指数概念的又一次推广。分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定（a>0，m，n都是正整数，n>1）。(a>0，m，n都是正整数，n>1)在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已。②0的指数幂。0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。本节练习题不涉及负数的指数幂，负数的负分数指数幂是否有意义，应视m、n的具体数值而定。③指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充，a>0,p是一个无理数时，的值就可用两个指数为p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数幂序列无限逼近而得到（这个逼近结果的极限值就等于），故是一个确定的实数，而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适用，这样，指数概念就扩充到了整个实数范围。（2）分数指数幂的运算性质①有理数幂的运算性质有理数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样：式中a>0,b>0,r,s∈Q.对于这三条性质，不要求证明，但须记准、记熟、会用、用活。②根式运算教材中不介绍根式的运算性质，对于根式运算，简单的问题可根据用心爱心专心根式的意义直接计算。一般可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质进行计算。3、学习方法、解题技巧、思维方法①先复习初中学过的整数指数幂的概念及运算。对于指数幂，当指数n扩大至有理数时，要注意底数a的变化范围。如当n=0时，底数a≠0；当n为负整数指数时，底数a≠0；当n为分数时，底数a>0。②学习本节内容要结合对比法，揭示其内涵与外延及其与旧概念的联系。运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，要掌握解题技巧，如凑完全平方，寻求同底幂等方法。[例题分析]例1．化简或计算:（1）（2）（3）（4）分析：将根式化为分数指数幂形式，利用分数指数幂运算性质计算是根式运算中常用方法。解答：（1）原式＝＝＝＝（2）原式＝＝＝2×3＝6（3）原式＝＝＝＝（4）原式＝＝＝＝评注：既含有分数指数幂，又有根式，一般把根式统一化成分数幂形式，便于计算，注意结果可化为根式或分数指数幂形式，但不能两者兼有之。例2．根据下列条件求值.用心爱心专心（1）已知：，求值（2）已知：，求值（3）已知：，且，求值分析：用乘法公式对解析式变形化简解答：（1）由，∴两边同平方：，再平方：又3×（7-1）＝18∴原式＝（2）由已知：∴原式＝＝＝（3）原式∵，∴又∵∴∴原式评注：①对幂值运算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑法则和乘法公式。②善于用整体思想寻求已知条件与结论联系。③注意运用下列公式：；；用心爱心专心例3．已知：，①求值②设，，求值分析：根据已知条件和被求式，可将已知条件代入所求或所给式子，恰当变形，推得结果。解答：①原式＝[f(x)+g(x)]．[f(x)-g(x)]＝＝＝－4.②原式＝＝＝＝4同理：∴∴∴评注：方程思想是一种重要的数学思想。[本课练习]１、计算：解：原式2、已知：，求解：∵用心爱心专心∴原式３、若，则s等于（A）A：B：C：D：解：原式选（A）４、若x＞0，y＞0且，求值.解：由题知，∴又∵x＞0，y＞0∴∴x＝25y∴原式＝35、已知：，求的值解：由已知，1+∴原式用心爱心专心
