初等几何变换（一）基础知识：平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。中国数学会普委会明确规定：初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题。几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。我们称集合M到自身的一一对应为一个变换。初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。一、平移变换1．定义设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X'，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX'，图形FF'。2．主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、轴对称变换1．定义设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X'，使得X与X'关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX'，图形FF'。2．主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。例题：【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。求证：∠PBA=∠PDA。【例2】如图左：线段AA′,BB′,CC′交于点O，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°。求证：Ｓ△AOB'+Ｓ△BOC'+Ｓ△COA'<用心爱心专心B'BOA'CAC'B'BOPA'CAQRC'图2【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形【例4】P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。（蝴蝶定理）【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小【例6】△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形。求证：PQ+QR+RP>2AD。用心爱心专心OACBDFEC'A'OACBDOACBDFEC'A'G图3OBAPDFCENMHGF'OBAPDFCENM图4图6ABCDPQRP'P''ABCDPQR用心爱心专心
