高一数学正弦定理的一个推论及应用在△ABC中，熟知a≤b的等价条件是A≤B，又由正弦定理，可得如下有用结论：定理：若α、β＞0，且α+β＜，则α≤β，等号当且当α=β时成立。应用这个简单的定理，可以简捷、巧妙地解证一些数学难题。例1、已知正数α、β、a、b满足：α＜β，α+β＜，a+b＜,求证：a＜b。证明：由题设，应用本文定理可知有＜，从而有＜，再一次应用定理，得a＜b。例2、设α、β、γ是锐角三角形的三个内角，证明：若α＜β＜γ，则＞＞。证明：易知有2（α+β）＞，∴（-2α）+（-2β）＜，又∵（-2α）＞（-2β），∴＞，即＞。同理＞。故有＞＞。例3、在△ABC中，求证：。证明：不妨设，则，从而有。又，故由排序原理，得，，，三式相加并整理，即证得本题。例4、试证明在一个三角形中，大角的平分线较小。证明：如图△ABC，BD、CE为角平分线，∠ACB＞∠ABC下证BD＞CE。易知有∠ACE＞∠ABD，故可在∠ACE内部作∠ECF=∠ABD，边CF交BD于F，则B、C、F、E四点共圆，故有，显然∠BCF＞∠EBC，且∠BCF+∠EBC＜，∴＞，∴BF＞CE，从而BD＞CE。定理得证。FDECBA
