高一数学数列综合提高知识精讲VIP专享VIP免费

高一数学数列综合提高【本讲主要内容】数列综合提高数列综合问题，数列的实际应用【知识掌握】【知识点精析】本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前项和，则其通项为若满足则通项公式可写成．（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容．（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想．善于使用各种数学思想解答数列问题，是我们复习应达到的目标．①函数思想：等差等比数列的通项公式，求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解．②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为及；已知求时，也要进行分类；③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解．（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决．【解题方法指导】例1.三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1、3、9就成等比数列，求这三个数．分析：利用等差数列及等比数列的性质．解：设这三个正数分别为其中为公差，则有由题意可得，即，解得或由题意舍．故这三个正数分别为3，5，7．例2.（2005北京文17）数列的前项和为，且，，1，2，3，……，求：（I）的值及数列的通项公式；用心爱心专心（II）的值．分析：利用已知条件，确定的关系．解：（I）由，，1，2，3，……，得，，，由（n≥2），得（n≥2），又，所以=（n≥2），∴数列的通项公式为；（II）由（I）可知是首项为，公比为，项数为n的等比数列，∴=．例3.已知等差数列{}的前项的和为，且，．（I）求{}的通项公式；（II）设，求证：数列{}为等比数列；分析：利用等差数列的前项和的公式．（I）解：由题意可得，，∴，解得 ，∴．∴．（II）证明： ，∴，，∴，而=，∴数列{}是以为首项，以为公比的等比数列．【考点突破】用心爱心专心【考点指要】高考试题中考查数列知识的解答题多是综合性问题，常将数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等内容综合起来考查．考查形式多样，可以是小题（选择题、填空题），也可以是大题形式出现，所占的分值为5~14分．（1）探索性问题在高考中出现的频率较高，一般有两种形式：①不知问题的结论，需经过自己去发现、去探索，从而得出结论．具体的思维过程是“观察分析——归纳假设——推理论证”．其中观察分析是基础，猜想是关键．②“是否存在”型问题．解决这类问题的思路是：假设满足题设条件的对象存在，在此基础上，或寻找出对象存在的条件，从而肯定假设，或推导出与题设或事实矛盾的结论，从而推翻假设．（2）数列型应用问题也是高考考查的热点，解题思想主要有以下几点：①读题分析哪些构成等差数列，哪些构成等比数列，有无递推关系式；②明确是求数列通项，还是求数列前n项和，还是求递推公式；③将问题转化成数列问题解决．【典型例题分析】例1.（2005上海卷理20题）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米?（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中，则令，即，而是正整数，∴．到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．（2）设新建住房面积形成数列，由题意可知是等比数列，其中，，则．由题意可知，有由计算器解得满足上述不等式的最小正整数．到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．评述：本题主要考查学生运用所学数列知识解决实际问题的能力，以及数学建模能力．例2....