第四讲证明方法综合运用（一）名人名言华罗庚天才在于积累，聪明在于勤奋．华罗庚（1910～1985，中国数学家）一生共发表论著200多种．数学中的许多定理、不等式和方法以他的名字命名．虽然聪明过人，但他从不夸耀自己的天分，而是把比“聪明”重要得多的“勤奋”与“积累”看作两把成功的钥匙．华罗庚深知培养中国青年数学家的重要性，他反复告诫青年学习数学要做到“拳不离手，曲不离口”，经常锻炼自己．他还用自己的治学经验鼓励青少年：“科学上没有平坦的大道，真理的长河有无数礁石险滩．只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠！”华罗庚对自己的要求比对其他人更严格，1979年他指出：“树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松．我愿一辈子从实以终，这是我对自己的鞭策，也可以说是我今后的打算．”陈省身我们欣赏数学，我们需要数学．数学是研究现实世界数量关系和空间形式的一门学科．它的内容具有高度抽象性，它的理论体系和推理方法具有严密逻辑性，它的应用具有极端广泛性．数学之所以具有如此强大的生命力，就在于数学的趣味及其无法比拟的魅力，即“数学美”．正如陈省身所说“我们欣赏数学，我们需要数学”．陈省身（ChernShiing-shen，1911～2004，中国－美国数学家）结合微分几何与拓扑方法，先后完成了两项划时代的重要工作．其一为黎曼流形的高斯－博内公式的一般形式，另一为埃尔米特流形的示性类论．1961年当选为美国科学院院士，1963至1964年任美国数学会副主席．在国际数学家大会上多次作一小时报告，1983年荣获沃尔夫奖．2002年担任北京国际数学家大会名誉主席．|高一·数学·第4讲·联赛班·学生版|161．观察特征观察和挖掘一些隐藏的特征，对于突破问题的难点有十分重要的作用．当然要观察到问题的特征，必须要有娴熟的数学知识思维上的灵巧以及锲而不舍的精神．2．特殊化与一般化特殊化是一种以屈求伸、欲进先退的思维方法．在数学解题和数学研究中经常用到．我国著名数学家华罗庚先生就曾经指出：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍!”通过特殊化，可探索出问题的正确结论．与特殊化相反，一般化就是我们为了解题的需要放开或改变一些条件的限制，把具体的个性问题转化为一般的共性问题来研究．有时，这种方法使我们视野更广阔，避免在枝节问题上的纠缠，容易触及问题的本质，给解题带来简便．3．反证4．分步推进为了解决一个比较复杂的题目，常常不能一步到位，只能把一个问题分成若干个局部问题，这些局部问题往往是层层递进的，当解题者一步一步地把这些局部问题解决了，整个问题也就解决了．用分步推进策略解题的关键是弄清题意，设计好层层递进的解题步骤．【例1】已知两同心圆的圆心为（如图），过小圆上一定点作小圆的弦和大圆的弦，且使，求证：为定值．AMBCO【例2】设为正实数，证明：．【例3】如图，和是两个全等的正三角形，六边形的边长分别记为：，求证：．知识点拨例题精讲17|高一·数学·第4讲·联赛班·学生版|FEDCBAR'Q'P'RQP【例4】设是大于的素数，证明：能被整除．【例5】自凸边形内一点向各边作高，求证至少有一个垂足在其边上而不在边的延长线上．【例6】在一个的方格棋盘的方格中，填入从到这个数．问：是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于？|高一·数学·第4讲·联赛班·学生版|18【例7】个盘子里放的糖块总数不少于块，从任选的两个盘子中各取块糖，放入另一个盘子中去，称为一次操作．问能否经过有限次操作，把所有的糖块都集中到一个盘子里去？证明你的结论．1．已知，且不存在实数，满足方程．证明：等于一个常数．大显身手19|高一·数学·第4讲·联赛班·学生版|2．平面上有、、、四点，其中任意三点都不在一条直线上．求证：、、、中至少有一个三角形的一个内角不超过．3．平面上给出条两两不平行的直线，并且每个交点处至少有条直线通过，则这些直线都交于一点．|高一·数学·第4讲·联赛班·学生版|20
