数形结合的11种应用（杨法广）VIP免费

数形结合的11种应用濮阳市油田第三高级中学杨法广邮编457001数与形是数学中最基本的研究对象，在一定条件下可以相互转化，数形结合就是运用图形来简化解题思路。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某种属性，或借助于几何图形的直观性来阐明数之间某种关系，即“以数解形”或“以形助数”。我国著名数学家华罗庚先生曾这样形容“数”与“形”的关系：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”这是对数形结合思想方法最通俗、最深刻的剖析。结合教学实际，下面主要对第二种情形的应用加以解析，仅供参考。1、解方程例1、已知方程与方程的根分别是、，求+的值。解：设，，，在同一直角坐标系中作出、、的图像（如图）。由于与互为反函数，直线与直线y=x垂直，因此点P()与Q(log)关直线y=x对称，故。又因为，故。一般地，超越型与代数型函数混合式的方程等多用图解法。老师在教学过程中，必要时应对学生给以点拨，通过类比联想，提供思维线索，有意识的运用数形结合思想解决问题。2、解不等式及简单的线性规划。解不等式的问题可归结为求图像的交点所划分的区域。例2:、已知a>0，解关于的x不等式>x-1解：设，在同一坐标系中分别作、的图像，如下图所示图像的变化情况，由图像可知，当02时，原不等式的解是x<1-a+;例3、在下列条件下，，求目标函数f=5x+3y的最大值和最小值。解：不等式组在平面上表示的区域A如图阴影部分所示。将目标函数f=5x+3y改写成，原命题在区域A里寻找一点（x,y），使得过这点的斜率为的直线的纵截距最大，显然过区域A的顶点M的斜率为的直线的纵截距最大，从而点M的坐标(x,y)使目标函数f达到最大值，点O的坐标(0,0)使目标函数f达到最小值，由M()，目标函数的最大值为f=，目标函数的最小值为f=03、确定方程根的个数：例4、方程80sinx=x有多少个实根？解：在同一坐标系中，分别作=sinx，=的图像，由于|x|80,而25<80<26,故、的图像交点应落在(-26,26)之间。在y轴右侧，两曲线在[0,),(2,3),(4,5),……,(24,25)共13个区间内，每个区间有两个交点，根据对称性可知总交点个数应是262-1=51.例5、讨论关于x的方程的解的情况(xR)解：设，在同一坐标系中分别作、的图像，由图知抛物线过点A（-3,0），直线与抛物线相切时，得，所以根的分布是：当或b<3时，原方程有一个根；当3≤b<时，方程有两个根.4、求参数的范围例6、（1989年高考题）设f(x)是(-,+)上的以2为周期的函数，对kZ，用表示区间（2k-1,2k+1],已知当x时,f(x)=.（1）求f(x)在上的解析式。（2）对自然数k，求集合={|a|使方程f(x)=ax在上有两个不相等的实数根}。解：（1）易求得f(x)=,x.(2)考虑y=与y=ax在上的图像有两个不同公共点，a是直线斜率,y=(x)的图像是抛物线的一部分，而原点与抛物线线上的点(2k+1,1)连线的斜率是,由图像可知:00)或>-1(m<0)，故m的取值范围是m>1或m<-1.例8、方程，且1<|x|<10,若该方程有两个不同的解，求a的取值范围解：原方程等价于，令t=lg|x|，因且1<|x|<10，故0