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课时跟踪检测(六十) 定点、定值、探索性问题VIP免费

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课时跟踪检测(六十)定点、定值、探索性问题(分Ⅰ、Ⅱ卷,共2页)第Ⅰ卷:夯基保分卷1.已知椭圆C过点M,点F(-,0)是椭圆的左焦点,点P,Q是椭圆C上的两个动点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.2.(2013·济南模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kAC·kBD=-.求证:四边形ABCD的面积为定值.3.(2013·北京东城区期末)在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(-,0),(,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点.(1)求曲线C的轨迹方程;(2)△AOB的面积是否存在最大值,若存在,求出△AOB的面积的最大值;若不存在,说明理由.第Ⅱ卷:提能增分卷1.已知椭圆C:+=1,点F1,F2分别为其左、右焦点,点A为左顶点,直线l的方程为x=4,过点F2的直线l′与椭圆交于异于点A的P,Q两点.(1)求·的取值范围;(2)若AP∩l=M,AQ∩l=N,求证:M,N两点的纵坐标之积为定值,并求出该定值.2.(2013·合肥模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)与双曲线-=1(0<m2<3)有公共的焦点,过椭圆E的右顶点R任意作直线l,设直线l交抛物线y2=2x于M,N两点,且OM⊥ON.(1)求双曲线的焦点坐标和椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.答案第Ⅰ卷:夯基保分卷1.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由已知,得解得∴椭圆的标准方程为+=1.(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由椭圆的标准方程为+=1,可知|PF|===2+x1,同理|QF|=2+x2,|MF|==2+, 2|MF|=|PF|+|QF|,∴2=4+(x1+x2),∴x1+x2=2.(ⅰ)当x1≠x2时,由得x-x+2(y-y)=0,∴=-·.设线段PQ的中点为N(1,n),由kPQ==-,得线段PQ的中垂线方程为y-n=2n(x-1),∴(2x-1)n-y=0,该直线恒过一定点A.(ⅱ)当x1=x2时,P,Q或P,Q,线段PQ的中垂线是x轴,也过点A.综上,线段PQ的中垂线过定点A.2.解:(1)由题意e==,+=1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,故椭圆的标准方程为+=1.(2)证明:设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,①由根与系数的关系得 kAC·kBD=-=-,∴=-,∴y1y2=-x1x2=-·=-.又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2+km+m2=,∴-=,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=|AB|·d=·|x2-x1|·====2,∴S四边形ABCD=4S△AOB=8,即四边形ABCD的面积为定值.3.解:(1)由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(-,0),(,0)为焦点,长半轴长为2的椭圆.故曲线C的轨迹方程为+y2=1.(2)△AOB的面积存在最大值.因为直线l过点E(-1,0),所以可设直线l的方程为x=my-1或y=0(舍).由整理得(m2+4)y2-2my-3=0,Δ=(2m)2+12(m2+4)>0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1>y2.解得y1=,y2=.则|y2-y1|=.因为S△AOB=|OE|·|y1-y2|==.设t=,t≥,g(t)=t+,则g′(t)=1-,故当t≥时g′(t)>0恒成立,则g(t)在区间[,+∞)上为增函数,所以g(t)≥g()=.所以S△AOB≤,当且仅当m=0时取等号.所以S△AOB的最大值为.第Ⅱ卷:提能增分卷1.解:(1)①当直线PQ的斜率不存在时,由F2(1,0)可知PQ的方程为x=1,代入椭圆C:+=1,得点P,Q,又点A(-2,0),故=,=,·=.②当直线PQ的斜率存在时,设PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入椭圆C:+=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),得x1+x2=,x1x2=,y1y2=k2(x1-1)·(x2-1)=k2(-x1-x2+x1x2+1)=,故·=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2==∈,综上,·的取值范围是.(2)证明:由(1)知,直线AP的方程为y=(x+2),与直线l的方程x=4联立,得M,...

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