第2课时相似三角形的性质及其应用举例1．三角形中的“三线”与相似比相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比、都________相似比．等于2．周长与相似比(1)相似三角形周长的比________相似比．(2)相似多边形周长的比________相似比．等于3．面积比与相似比(1)相似三角形面积的比等于相似比的________．(2)相似多边形面积的比等于相似比的________．平方等于平方4．相似三角形的实际应用(1)测量同度．①如图27-2-17(1)利用“同一时刻的物高和影长”构建三角形，其依据是“在同一时刻物高与影长成比例”．其数学模型为：图27-2-17(1)比例式为：ABDE＝BCEF.②如图27-2-17(2)利用“标杆和视角”构建三角形，其数学模型为：图27-2-17(2)比例式为：AHCG＝HEGE.③如图27-2-17(3)利用“平面镜的反射原理”构建三角形，其数学模型为：图27-2-17(3)比例式为：ABDE＝BCEC.(2)测量距离．测量不能直接到达的两点间的距离时，常构建下面的两种相似三角形进行求解．①三角型图：如图27-2-18(1)图27-2-18(1)比例式为：ABCD＝BEDE.(2)X型图：如图27-2-18(2)，图27-2-18(2)比例式为：ABCD＝BEDE.知识点1相似三角形周长的比图27-2-19【例1】如图27219，在△ABC和△EBD中，ABEB＝BCBD＝ACED＝53，△ABC与△EBD的周长之差为10cm，求△ABC的周长．思路点拨：先判定这两个三角形相似，再由相似三角形的周长之比等于相似比，及周长之差，就可求出△ABC的周长．解：∵ABEB＝BCBD＝ACED＝53，∴△ABC∽△EBD.∴ABCEBDCC△△＝53.又∵C△ABC－C△EBD＝10，∴C△ABC＝25.∴△ABC的周长为25cm.【跟踪训练】1．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为12∶，C则△DEF与△ABC的周长比为(A．14∶C．21∶)B．12∶D．1∶2知识点2相似三角形面积的比(重点)【例2】如图27-2-20，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，AD，BE相交于点G，若S△GDE＝1，求S△ABC的值．图27-2-20思路点拨：先求与△DEG相似的△ABG的面积，由相似比为2∶1，得S△ABC＝4，不难看出，△AGE和△BGD都与△GDE等高，因此它们的面积是△GDE的2倍，从而可以求出边形ABDE的面积，只要再求出△DEC的面积即可使问题解决．解：∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB.∴△ABG∽△DEG.∵ABGDEGSS△△＝ABDE2＝22＝4.∴S△ABG＝4.∵△AGE与△GDE等高，∴AGEGDESS△△＝AGDG＝ABDE＝2.∵S△GDE＝1，∴S△GBD＝S△AGE＝2.∴S四边形ABDE＝4＋2＋2＋1＝9.∵DE∥AB，∴△EDC∽△ABC.设S△ABC＝x，则xx－9＝212，解得x＝12，即S△ABC＝12.【跟踪训练】2．如图27-2-21，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，图27-2-21AC于点D，E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.解：过点D作AC的垂线，交点为F，则ADEDCESS△△＝12·AE·DF12·EC·DF＝AEEC＝2.∴AEAC＝23.又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴ADEABCSS△△＝AEAC2＝232＝49.即S△ADE∶S△ABC＝49∶知识点3利用影长测量物体的高度(重点)【例3】如图27-2-22，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，丁轩同学的身高是)1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是(图27-2-22A．24mB．25mC．28mD．30m思路点拨：在同一时刻，物高与影长成比例．解析：由题意，得EP＝1.5m，BD＝9m，PQ＝20m，EP∥BD，AP＝BQ.设AP＝BQ＝x，则AB＝2x＋20.因为EP∥BD，故两路灯之间的距离AB＝2×5＋20＝30(m)．答案：D所以△APE∽△ABD.所以EPBD＝APAB，即1.59＝x2x＋20，解得x＝5，【跟踪训练】3．如图27-2-23，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.57.5米，则那棵槟榔树的高是______米．图27-2-23
