5.3平面向量的数量积与平面向量的应用第五章5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识关键能力必备知识-2-知识梳理考点自诊2.向量数量积的运算律交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)1.平面向量的数量积定义:设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b.第五章5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识关键能力必备知识-3-知识梳理考点自诊3.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.向量的有关概念几何表示坐标表示模|a|=ξ𝑎·𝑎|a|=ඥ𝑥12+𝑦12数量积|a||b|cosθx1x2+y1y2夹角cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|cosθ=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2ට𝑥12+𝑦12·ට𝑥22+𝑦22A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的距离|AB|=|𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ||AB|=ට(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤ඥ𝑥12+𝑦12·ඥ𝑥22+𝑦22第五章5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识关键能力必备知识-4-知识梳理考点自诊4.向量在平面几何中的应用(1)要证AB=CD,可转化为证明𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ2=𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ2或|𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ|=|𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ|.(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=λ𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ成立即可.(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ=0.(4)求夹角问题,利用夹角公式cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|.第五章5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识关键能力必备知识-5-知识梳理考点自诊1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).第五章5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识关键能力必备知识-6-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.()(2)若a·b=0,则必有a⊥b.()(3)(a·b)·c=a·(b·c).()(4)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.()(5)若𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ∥𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ,则A,B,C三点共线.()(6)在△ABC中,若𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ<0,则△ABC为钝角三角形.()××××√×第五章5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识关键能力必备知识-7-知识梳理考点自诊2.(2019江西名校学术联盟检测)已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若|a·b|=|a|·|b|,则x的值为()A.2B.8C.-2D.-8C解析:由|a·b|=|a|·|b|得a,b共线,所以1×(-4)-2×x=0,所以x=-2,故选C.3.(2019全国2,理3)已知𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(2,3),𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(3,t),|𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ|=1,则𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ=()A.-3B.-2C.2D.3C解析:由𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ=𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ−𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(1,t-3),|𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ|=ට12+(𝑡-3)2=1,得t=3,则𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(1,0).所以𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.第五章5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识关键能力必备知识-8-知识梳理考点自诊4.(2019北京,9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=__________.8解析: a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,∴a·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8.第五章5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识关键能力必备知识-9-知识梳理考点自诊235.(2019全国3,理13)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos
=__________.ξ5解析: a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-ξ5b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4ξ5a·b=9,∴|c|=3.又a·c=2|a|2-ξ5a·b=2,∴cos=𝑎·𝑐|𝑎|·|𝑐|=21×3=23.第五章5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识关键能力关键能力-10-考点1考点2考点3平面向量数量积的运算例1(1)(2019天津,14)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2ξ3,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则𝐵𝐷ሬሬሬሬሬሬԦ·𝐴𝐸ሬሬሬሬሬԦ=.(2)(2019福建漳...
