直线与圆的位置关系本课内容本节内容2.5——2.5.2圆的切线观察下图，工人用砂轮磨一把刀，在接触的一瞬间，擦出的火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？观察生活中，我们常常看到切线的实例，如何判断一条直线是不是⊙O的切线呢？探究如图，OA是⊙O的半径，经过OA的外端点A，作一条直线l⊥OA，圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有怎样的位置关系？l圆心O到直线l的距离等于半径OA.由圆的切线定义可知直线l与圆O相切.由圆的切线定义可知直线l与圆O相切.l结论经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.由此得出以下结论：做一做用三角尺过圆上一点画圆的切线.（2）过点P沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l就是所要画的切线.如图所示.如下图所示，已知⊙O上一点P，过点P画⊙O的切线．画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处，并使一直角边与半径OP重合；为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢？例2已知：如图所示，AD是圆O的直径，直线BC经过点D，并且AB=AC，∠BAD=∠CAD.求证：直线BC是圆O的切线.举例D证明因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，所以AD⊥BC.又因为OD是圆O的半径，且BC经过点D，所以直线BC是圆O的切线.D1.（1）垂直于半径的直线一定是圆的切线吗？练习答：不一定.如下图：（2）经过半径外端的直线一定是圆的切线吗？答：不一定，如下图：2.已知：如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，AC=BC.求证：直线AB是圆O的切线.答：连接OC，由△OAC≌△OBC得∠ACO=∠BCO=90°，∴OC⊥AB于C.∴直线AB是圆O的切线.如图所示，直线l是圆O的切线，切点为A，切线l与半径OA垂直吗？探究我用量角器量得切线l与半径OA所成的角为90°，即切线l与半径OA垂直.我用量角器量得切线l与半径OA所成的角为90°，即切线l与半径OA垂直.过圆心O作OB⊥l于点B.由于垂线段最短，可得OB＜OA，那么圆心O到直线l的距离小于半径，即直线l与⊙O相交.这与已知直线l是⊙O的切线相矛盾.下面我们用反证法来证明这个结论.假设直线l与半径OA不垂直.因此直线l⊥OA.结论圆的切线垂直于过切点的半径.圆的切线垂直于过切点的半径.由此，我们得出下面的结论：如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD和过点C的切线CD垂直，垂足为D.求证：BC平分∠ABD.举例例3又OC=OB，∴∠1=3.∠证明连接OC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵BD⊥CD，∴BD∥OC.∴∠1=2.∠∴∠2=3∠，即BC平分∠ABD.举例证明：经过直径两端点的切线互相平行.已知：如图所示，AB是圆O的直径，l1，l2分别是经过点A，B的切线.求证：l1∥l2.例4证明因为OA是圆O的半径，l1是过点A的切线，所以l1OA.⊥从而l1AB，且l2AB.⊥⊥因此l1∥l2.同理l2OB.⊥1.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的弦AB所在直线切小圆于点C.求证：点C是线段AB的中点.练习证明连接OA，OB，OC，则OA=OB.∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB.∴AC=BC.2.如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC.求∠ABD的度数.练习解∵CB是⊙O的切线，切点为B，∴AB⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°.又∵AD=DC，∴在Rt△ABC中，DB=AD=DC.∴∠ABD=45°.结束
