高中数学23等差数列的前n项和课件新人教A版必修5VIP免费

2.3等差数列的前n项和2.3等差数列的前n项和理解教材新知理解教材新知突破常考题型突破常考题型跨越高分障碍跨越高分障碍第二章第二章题型一题型一题型二题型二应用落实体验应用落实体验随堂即时演练随堂即时演练课时达标检测课时达标检测题型三题型三知识点一知识点一知识点二知识点二题型四题型四2.3[导入新知]数列的前n项和对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝.[化解疑难]数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.数列的前n项和a1＋a2＋…＋an等差数列的前n项和[提出问题]如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？提示：六层，等腰梯形．问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？提示：(4＋9)×6＝78.问题3：原来有多少根钢管？提示：12×78＝39.问题4：能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?提示：Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＝an＋an－1＋…＋a1，相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，∴Sn＝na1＋an2.问题5：试用a1，d，n表示Sn.提示： an＝a1＋(n－1)d，∴Sn＝n[a1＋a1＋n－1d]2＝na1＋nn－12d.[导入新知]等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝na1＋an2Sn＝na1＋nn－12d[化解疑难]等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及到a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．[活学活用]1．已知等差数列{an}．(1)a1＝56，a15＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.解： a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.又Sn＝na1＋nn－12·d＝－5，解得n＝15，n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8a1＋a82＝84＋a82＝172，解得a8＝39，又 a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.已知Sn求通项公式an[例2]已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是否为等差数列？[解](1) Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝1，n＝1，－4n＋3，n≥2.(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．[类题通法]已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2(如本例)．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5.[活学活用]2．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，故an＝1，n＝1，2·3n－1，n≥2.等差数列前n项和的性质[例3](1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176(2)等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.(1)[解析]利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8＝2a6＝1...