等差数列前N项和的公式VIP专享VIP免费

复习回顾(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q(m,n,p,qN),∈那么:an+am=ap+aq泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题1这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.高斯探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？12321212019121(121)212s获得算法：设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..即Sn=n(a1+an)/2下面将对等差数列的前n项和公式进行推导由此得到等差数列的{an}前n项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,,,,51nnSanda这就是：知三求二（2）1+3+5+…+（2n-1）=（1）1+2+3+…+n=（3）2+4+6…+2n=上面习题的答案在以后会经常用到。n（n+1）/2n（n+1）n2=Sn==SnSn你能做多块？【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫；②等差数列的前n项和公式类同于；③{an}为等差数列，这是一个关于的没有的“”倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得26072)1201(120120S答：V形架上共放着7260支铅笔。例2：在等差数列{an}中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（2）由等差数列的通项公式，得14.5+(n1)0.7=32n=265.604226)325.14(26S（1）a3=-2，a8=12，求S10解：（1）a1+a10=a3+a8=105021010210)(10110aaS巩固练习1、已知a6+a9+a12+a15=192,求S202、凸n边形各内角成等差数列，公差为10º，最小内角为100º，则n等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或9a6+a9+a12+a15=192，a6+a15=a9+a12=a1+a20a1+a20=969609610220)(20120aaS由题意，得:解得n=8或n=9（舍）B180)2(210)1(100nnnn3.一个项数为36的数列的前四项和是21，后四项和是67，求这个数列的和。22467211naa解：39622236nS1()2nnnaaS1公式1(1)(1)22nnnnnnSnadnad2公式等差数列的前n项和公式：熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用解决相关问题．课堂小结休息十分钟明天见