椭圆及其标准方程VIP免费

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（重点）2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点）实验操作(1)取一条定长的细绳；(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.探究点1椭圆的定义根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离有怎样的大小关系？结合实验及上面的问题，你能给椭圆下一个定义吗？我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.椭圆定义：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|椭圆|MF1|+|MF2|=|F1F2|线段|MF1|+|MF2|＜|F1F2|不存在思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？【总结提升】在知道了椭圆的定义及一些基本的性质之后，我们怎样用方程来表示呢？探究点2椭圆的标准方程思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？（1）建系设点（2）写出点集（3）列出方程（4）化简方程（5）检验结合椭圆的定义你能求出椭圆的方程吗？第一步：如何建立适当的坐标系呢？OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM建立坐标系的原则是：对称，简洁设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于2a(2a>2c>0).请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2MOy122||||.MFMFa222212||(),||(),MFxcyMFxcy22222()().xcyxcya所以由椭圆的定义得因为222222244()()(),xcyaaxcyxcy222(),acxaxcy移项，再平方222221.xyaac整理得4222222222222,aacxcxaxacxacay两边再平方，得22222222()(),acxayaac222210().xyabab所以的方程椭圆为222-0(),bacab解令：1F2FxyOP22-,,acac请看图片：你能从图中找出表示的线段吗？ac22ca222210().类方案二椭圆为yxabab似的也可以得到的方程2222210.()yxabab也把形如叫做椭圆的标准方程，2222110.xyabab我们把形如的方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在y轴上的椭圆.它表示焦点在x轴上的椭圆.1oFyx2FM12yoFFMx（1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上;（3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.思考：椭圆的标准方程有哪些特征呢？【总结提升】例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.求它的标准方程.53(,)22解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为22221(0).xyabab由椭圆的定义知222253532(2)()(2)()2102222a待定系数法又因为,所以2c因此,所求椭圆的标准方程为221.106xy2221046.bac所以10.a能用其他方法求它的方程吗？另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:22221(0).xyabab224.ab22532222()()1ab又由已知，①②联立①②,22106ab解得，因此,所求椭圆的标准方程为:221.106xy(2,0),(2,0)，又 焦点的坐标为【变式练习】已知椭圆经过两点和，求椭圆的标准方程.)25,23()5,3(221(0,0,),mxnymnmn解：设椭圆的标准方程为222235()()122(3)(5)1mnmn，，11,.610mn则有解得221610xy所以，所求椭圆的标准方程为.注意这种设法适用的情况xyODMP例2如图，在圆上任取一点P...