第33讲等差、等比数列的性质及综合应用【学习目标】运用类比的思想理解并记忆等差、等比数列的常用性质．掌握性质运用的方法与技巧，并能综合等差、等比数列的基本公式进行灵活运用．【基础检测】1.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A.－1B.0C.1D.6B【解析】由等差数列的性质知a2，a4，a6成等差数列，所以a2＋a6＝2a4，所以a6＝2a4－a2＝0.故选B.2.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A.21B.42C.63D.84B【解析】由a1＝3，得a1＋a3＋a5＝3(1＋q2＋q4)＝21，所以1＋q2＋q4＝7，即(q2＋3)(q2－2)＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42，故选B.3.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝____.10【解析】a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，∴a5＝5，∴a2＋a8＝2a5＝10.4.已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于.2n－1【解析】设数列{an}的公比为q，由a2a3＝a1a4＝8，a1＋a4＝9知a1，a4是一元二次方程x2－9x＋8＝0的两根，解此方程得x＝1或x＝8.又数列{an}递增，因此a1＝1，a4＝a1q3＝8，解得q＝2，故数列{an}的前n项和Sn＝1×（1－2n）1－2＝2n－1.【知识要点】1．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则an，an＋m，an＋2m，…(n，m∈N*)是公差为_______的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.md2．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：________________(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则________________．(3)若等比数列{an}的公比为q，则1an是以1q为公比的等比数列．(4)若公比不为－1的等比数列{an}的前n项的和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列．an＝am·qn－mak·al＝am·an一、等差数列的性质及应用例1(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.10(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝____.(3)设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*).若a8a7＜－1，则()A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S7A60D【解析】(1)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝n（a1＋an）2＝n·602＝390，即n＝13.(2) S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.(3)由条件得Snn＜Sn＋1n＋1，即n（a1＋an）2n＜（n＋1）（a1＋an＋1）2（n＋1），所以an＜an＋1，所以等差数列{an}为递增数列.又a8a7＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.【点评】一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立.二、等比数列的性质及应用例2(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A.31B.32C.63D.64(2)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于()A.(3n－1)2B.12(9n－1)C.9n－1D.14(3n－1)(3)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝____.CB50【解析】(1)由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.(2) a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列.因此a21＋a22＋…＋a2n＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1).(3)由等比数列的性质可知，a10a11＋a9a12＝2e...
