高中数学压轴题系列——导数专题——双极值问题VIP免费

高中数学压轴题系列——导数专题——双极值问题1．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=﹣设g（x）=x2﹣ax+1，﹣1+=﹣，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2﹣4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：xf′（x）f（x）（0，﹣递减）0（，+递增）0（﹣，+∞）递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+则=﹣2+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），，则问题转为证明＞x1﹣＜1即可，，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，则lnx1﹣ln即证2lnx1＞x1﹣，即lnx1+lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，=﹣=﹣＜0，求导得h′（x）=﹣1﹣则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则2．（2018•玉溪模拟）已知函数f（x）=xlnx﹣．＜a﹣2成立．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：lnx1+lnx2＞2．解：（1） f（x）=xlnx﹣在（0，+∞）上是减函数，）max，∴f′（x）=lnx﹣mx≤0在定义域（0，+∞）上恒成立，∴m≥（设h（x）=，则，由h′（x）＞0，得x∈（0，e），由h′（x）＜0，得x＞e，∴函数h（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴h（x）max=h（e）=．∴m≥．故实数m的取值范围是[，+∞）．证明：（2）由（1）知f′（x）=lnx﹣mx， 函数f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴，则，∴=，∴lnx1+lnx2=•ln=，设t=只需证∈（0，1），则lnx1+lnx2=，只需证lnt＜，则g′（t）=，要证lnx1+lnx2＞2，，只需证lnt﹣=＜0，＞0，＜0，构造函数g（t）=lnt﹣∴g（t）=lnt﹣∴lnx1+lnx2＞2．在t∈（0，1）上递增，∴g（t）＜g（1）=0，即g（t）=lnt﹣3．（2018•银川三模）已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．解：（1） f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0），不妨设φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），则关于x的方程2ax2﹣x+1=0的判别式△=1﹣8a，当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当0＜a＜时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增；（2）证明：由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=，x1x2=，∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣（lnx1+lnx2）=ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜），＜0，∴g（a）在（0，）内单调递减，令g（a）=lna++ln2+1，当a∈（0，）时，g′（a）=故g（a）＞g（）=3﹣2ln2，∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．4．（2018•南开区一模）已知函数f（x）=﹣ln2x﹣ax2+x（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为减函数，求a的取值范围；（Ⅱ）讨论函数f（x）的极值点的个数；（Ⅲ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2．解：（Ⅰ）f′（x）=﹣﹣2ax+1=﹣则﹣2ax2﹣x+1≤0即∴2a，a在（0，+∞）恒成立，综上，a的取值范围是[，+∞）．，x∈（0，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，．要使f（x）在（0，+∞）单调递减．在（0，+∞）恒成立，在（0，+∞）恒成立，，（Ⅱ）（ⅰ）a=0时，所以x=1，f（x）取得极小值，x=1是f（x）的一个极小值点．（ⅱ）...