1/7求极限的13种方法(简叙)龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。例1、求极限lim(1+a)(1+a2)...(1+a2)，其中同<1nToo分析由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。解因为(1+a)(1+a2)...(1+a2n)=1(1-a)(1+a)(1+a2)...(1+a2")1-a(1—a2)(1+a2)...(1+a2”)当n—To时，2n+1To,a2"+1T0,从而lim(1+a)(1+a2).・・(1+a2")=—1-anToo二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量,提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。2/7tn-1+tn-2+...+1ntm-1+tm-2+...+1m原式=lim口tT1tm—1例2、求极限lim吧—1，其中m,n为正整数。XT1vx-1分析这是含根式的（0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化0简，再进一步计算极限。解令t二Xmn,则当XT1时，tT1(t—1)(tn-1+tn-2+...+1)=limtT1(t—1)(tm-1+tm-2+...+1)、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式uv=elnuv,进行恒等变形，特别的情形，在（is）型未定式时可直接运用uv=e（u-1）-v例3、求极限lim(cosx)csc2xXTo1.2——sin2x■lim2原式=lime(cosx-Dcsc2x=exTOsin2XXTO四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。例4、求极限lim巴nTsnn分析当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。解因为。
0,X>0,xn+1=4（3xn+百）,（n=l,2,...）,求极限limx。分xnfgnn分析由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界准则。解由a>0,xi>0,xn+1=4（3xn+菩）易知二>0。n根据算术平均数与几何平均数的关系，有1/a、、ax=(x+x+x+)>4>xxx一n+14nnnx3nnnx3nn所以，数列x有下界还，即对一切n>1,有x>五又nnx1a、，1a、-=(3+)<(3+)=1所以x4万>0.nfgn对式子x”+1:二4（3xn+善）两边同时取极限得A=4（3A+解得A=4万，即limx=4。（已舍去负根）nfgn六、利用等价无穷小求极限利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简便、快捷的方法。学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵活应用。同时应注意：只有在无穷小作为因式时，才能用其等价无穷小替换。4/7数。sin(a+1)即limn-ln[—n*sina]=[lnsinx]'x=a=cota例6、求极限limSinsin(X-1)xT1Inx分析此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx均为无穷小，而均作为因式，故可以利用等价无穷小快速求出极限。x-1T0,贝Usinsin(x-1)~sin(x-1)~x-1,Inx=ln(1+x-1)~x-1故原式=limx-1=1xT1x-1七、利用导数定义求极限利用导数定义求极限适用于limf(x0+a)一f(xo+b型极限，并且需要(a-b)TOa-b满足f(x)存在。0sin(a+丄)例7、求lim[Sn，其中0
