专题07基本不等式（课件）-2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）VIP免费

人教2019版必修上册专题07基本不等式本节知识预览知识点精讲1知识点精讲1重要不等式当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．知识点精讲2知识点精讲2基本不等式当a>0，b>0时有ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．知识点精讲3知识点精讲3基本不等式与最值已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．典型例题与经典解法1典型例题与经典解法1(1)已知𝑥>0，求𝑦=2−𝑥−4𝑥的最大值；(2)已知−1<𝑥<12，求𝑦=(1+𝑥)(1−2𝑥)的最大值．【答案】（1）−2；（2）98【解析】(1)因为𝑥>0，所以𝑥+4𝑥≥4，所以𝑦=2−𝑥−4𝑥=2−(𝑥+4𝑥)≤2−4=−2，所以当且仅当𝑥=4𝑥，即𝑥=2>0，函数𝑦=2−𝑥−4𝑥的最大值为−2.(2)因为−1<𝑥<12，所以1+𝑥>0,1−2𝑥>0，所以𝑦=(1+𝑥)(1−2𝑥)=12(2+2𝑥)(1−2𝑥)≤12((2+2𝑥)+(1−2𝑥)2)2=98，当且仅当2+2𝑥=1−2𝑥，即𝑥=−14∈(−1,12)时，𝑦=(1+𝑥)(1−2𝑥)的最大值为98典型例题与经典解法2典型例题与经典解法2若𝑥>0，𝑦>0，且1𝑥+9𝑦=1，则𝑥+𝑦的最小值是_____．【答案】16【解析】 𝑥>0，𝑦>0且1𝑥+9𝑦=1，由基本不等式得𝑥+𝑦=(𝑥+𝑦)(1𝑥+9𝑦)=𝑦𝑥+9𝑥𝑦+10≥2ට𝑦𝑥⋅9𝑥𝑦+10=16，当且仅当𝑦=3𝑥时，等号成立.因此，𝑥+𝑦的最小值为16.故答案为：16.典型例题与经典解法3典型例题与经典解法3已知四个函数①𝑦=𝑥+1𝑥；②𝑦=|𝑥+1𝑥|；③𝑦=𝑥2+2+1𝑥2+2；④𝑦=ξ𝑥+4ξ𝑥+1−1，其中函数最小值是2的函数编号为____________．【答案】②④【解析】①函数𝑦=𝑥+1𝑥的自变量𝑥没有正数条件，其最小值不是2；②函数𝑦=|𝑥+1𝑥|，当𝑥>0时𝑦=𝑥+1𝑥≥2，当𝑥<0时𝑦=(−𝑥)+1−𝑥≥2，函数最小值为2；③函数𝑦=𝑥2+2+1𝑥2+2，最小值为2时取等号的条件不满足；④𝑦=ξ𝑥+4ξ𝑥+1−1=(ξ𝑥+1)+4ξ𝑥+1−2≥2ξ4−2=2，当且仅当𝑥=1时取“=”．所以正确答案为②④．典型例题与经典解法4典型例题与经典解法4已知𝑎,𝑏,𝑐为三角形的三边,且𝑆=𝑎2+𝑏2+𝑐2,𝑃=𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎,则（）A．𝑆≥2𝑃B．𝑃<𝑆<2𝑃C．S>PD．𝑃≤𝑆<2𝑃【答案】D【解析】由基本不等式可知,𝑃=𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎≤𝑎2+𝑏22+𝑏2+𝑐22+𝑎2+𝑐22=𝑎2+𝑏2+𝑐2=𝑆.当且仅当𝑎=𝑏=𝑐时取等号.故𝑃≤𝑆.又三角形的三边满足𝑎+𝑏>𝑐,𝑎+𝑐>𝑏,𝑏+𝑐>𝑎,故𝑎𝑐+𝑏𝑐>𝑐2,𝑎𝑏+𝑏𝑐>𝑏2,𝑎𝑏+𝑎𝑐>𝑎2.三式累加有2𝑎𝑏+2𝑎𝑐+2𝑏𝑐>𝑎2+𝑏2+𝑐2,即2𝑃>𝑆.综上有𝑃≤𝑆<2𝑃.故选：D典型例题与经典解法5典型例题与经典解法5已知𝑎，𝑏，𝑐为正数，且满足𝑎+𝑏+𝑐=1.证明：（1）𝑎2+𝑏22𝑐+𝑏2+𝑐22𝑎+𝑐2+𝑎22𝑏≥1；（2）𝑎2𝑏+𝑐+𝑏2𝑎+𝑐+𝑐2𝑎+𝑏≥12.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：因为𝑎，𝑏，𝑐为正数，𝑎+𝑏+𝑐=1.（1）由𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏，𝑏2+𝑐2≥2𝑏𝑐，𝑐2+𝑎2≥2𝑎𝑐得𝑎2+𝑏22𝑐+𝑏2+𝑐22𝑎+𝑐2+𝑎22𝑏≥𝑎𝑏𝑐+𝑏𝑐𝑎+𝑎𝑐𝑏，当且仅当𝑎=𝑏=𝑐时，等号成立，因为𝑎𝑏𝑐+𝑏𝑐𝑎≥2𝑏，𝑏𝑐𝑎+𝑎𝑐𝑏≥2𝑐，𝑎𝑏𝑐+𝑎𝑐𝑏≥2𝑎，故𝑎𝑏𝑐+𝑏𝑐𝑎+𝑎𝑐𝑏≥𝑎+𝑏+𝑐=1.当且仅当𝑎=𝑏=𝑐=13时，等号成立，所以𝑎2+𝑏22𝑐+𝑏2+𝑐22𝑎+𝑐2+𝑎22𝑏≥1.当且仅当𝑎=𝑏=𝑐=13时，等号成立，（2）𝑎2𝑏+𝑐+𝑏2𝑎+𝑐+𝑐2𝑎+𝑏=(𝑎−1+1)21−𝑎+(𝑏−1+1)21−𝑏+(𝑐−1+1)21−𝑐=(1−𝑎)+11−𝑎−2+(1−𝑏)+11−𝑏−2+(1−𝑐)+11−𝑐−2=−3−(𝑎+𝑏+𝑐)+11−𝑎+11−𝑏+11−𝑐=−4+11−𝑎+11−𝑏+11−𝑐，而11−𝑎+11−𝑏+11−𝑐=12[(1−𝑎)+(1−𝑏)+(1−𝑐)](11−𝑎+11−𝑏+11−𝑐)≥12×3ඥ(1−𝑎)(1−𝑏)(1−𝑐)3×3ට1(1−𝑎)(1−𝑏)(1−𝑐)3=92，当且仅当𝑎=𝑏=𝑐=13时，等号成立，所以，𝑎2𝑏+𝑐+𝑏2𝑎+𝑐+𝑐2𝑎+𝑏≥12.当且仅当𝑎=𝑏=𝑐=13时，等号成立，典型例题与经典解法6典型例题与经典解法6已知不等式𝑥𝑥2+4≤𝑎对任意的𝑥∈[1,3]恒成立,则实数𝑎的范围为_______．【答案】[14,+∞).【解析】因为𝑥∈[1,3]，则𝑥𝑥2+4=1𝑥+4𝑥≤12ට𝑥×4𝑥=14，当且仅当𝑥=4𝑥时，即𝑥=2等号成立，即𝑥𝑥2+4在𝑥∈[1,3]的最大值为14，又由不等式𝑥𝑥2+4≤𝑎...