第2课时　用空间向量解决立体几何中的垂直问题VIP专享VIP免费

第三章§3.2立体几何中的向量方法第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题学习目标1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤.知识点一向量法判断线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔⇔.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a·b＝0知识点二向量法判断线面垂直设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔.a＝kμ(k∈R)知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，类型一线线垂直问题证明N是侧棱CC1上的点，且CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.训练1如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.证明证明类型二证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.证明训练2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.证明类型三证明面面垂直问题例3三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.3反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.证明训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.解由于点M在直线AE上，因此可设AM-→＝λAE→＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，则M(2,2λ，λ)，∴A1M-→＝(0,2λ，λ－2).要使A1M⊥平面AED，只需A1M-→∥n1，即2λ1＝λ－2－2，解得λ＝25.故当AM＝25AE时，A1M⊥平面AED.12345练习1.下列命题中，正确命题的个数为①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.A.1B.2C.3D.4√解析①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确.2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)12345√解析因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交12345√解析 a∥μ，∴l⊥α.4.平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定12345√解析 (1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.是答案解析SB＝29，则异面直线SC与BC是否垂直________.(填“是”或“否”)5.在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝13，解析如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分...