第4节数列求和及数列的综合应用VIP免费

1第4节数列求和及数列的综合应用考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.21.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：知识梳理(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋_____________.n（n－1）2dSn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝__________________.32.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.4(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.5[常用结论与微点提醒]1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.2.12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）6.3.裂项求和常用的三种变形(1)1n（n＋1）＝1n－1n＋1.(2)1（2n－1）（2n＋1）＝1212n－1－12n＋1.(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.6考点一分组求和【例1】求和1002222222123499100111()()()111()()+()(1,1)nnnnnSSxxxxxxxxxxyyyy（1）求…的值（2）求…（3）求和…7【例2】(2019·青岛二模)记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝19，Sn＝nan＋1＋n(n＋1).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，求T20的值.解(1)因为Sn＝nan＋1＋n(n＋1)，①所以Sn－1＝(n－1)an＋n(n－1)(n≥2)，②①－②得an＝nan＋1－(n－1)an＋2n(n≥2)，即an＋1－an＝－2(n≥2)，又S1＝a2＋2，即a2－a1＝－2，所以数列{an}是以19为首项，－2为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)·(－2)＝21－2n.8＝2(19＋17＋…＋1)＝2×（19＋1）×102＝200.(2)由(1)知an＝21－2n，所以bn＝|an|＝|21－2n|，因为当n≤10时，an>0，当n>10时，an<0，所以bn＝21－2n，n≤10，2n－21，n>10，所以T20＝b1＋b2＋…＋b20＝(19＋17＋…＋1)＋(1＋3＋…＋19)9规律方法1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.若数列{cn}的通项公式为cn＝an，n为奇数，bn，n为偶数，其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.10【训练1】(2020·郴州质检)已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a3－1成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝2n－1＋an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与n2＋2n的大小.11考点二裂项求和【例3】2221=(21)(21)24(2)+1335(21)(21)nnnnaanSnnnSnn（1）已知数列{}的通项公式，求它的前项和（2）求和…12【例4】(2020·黄山质检)已知数列nan－1的前n项和Sn＝n，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝2n＋1（an－1）2（an＋1－1）2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：对任意的n∈N*，都有Tn<1.(1)解因为Sn＝n，①所以当n≥2时，Sn－1＝n－1，②由①－②得nan－1＝1，故an＝n＋1(n≥2)，又因为a1＝2适合上式，所以an＝n＋1(n∈N*).13(2)证明由(1)知，bn＝2n＋1（an－1）2（an＋1－1）2＝2n＋1n2（n＋1）2＝1n2－1（n＋1）2，所以Tn＝112－122＋122－132＋…＋1n2－1（n＋1）2＝1－1（n＋1）2.所以Tn<1.14规律方法1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)，1n（n＋k）＝1k(1n－1n＋k)，裂项后可以产生连续相互抵消的项.2.抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(对称剩项).15【训练2】(2020·山东师大附中模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1...